TÌM TẤT CẢ CÁC HÀM SỐ F

Câu 6: Tìm tất cả các hàm số f :

^

 thỏa mãn điều kiện:

   

2020 2019Lời giải Giả sử tồn tại hàm f thỏa mãn điều kiện trên. x f xCho y x , ta suy ra ²

 

f   ,  x 0. 1010 2019Áp dụng đẳng thức trên, ta suy ra:   x y f x y    

   

2 ² 2         f x f y f x y f, x y, 0. 2019 2020 1010 2019 Từ đó, ta rút ra đẳng thức (1) rất quan trọng là:

   

f x f yf x y    , x y, 0 (1). 2 2Thay y bởi y z , ta dễ dàng suy ra:  f y f zf x f y z f x

       

²

 

²     x y z2f2 2 2  , x y z, , 0. Từ đó, với vai trò x y z, , như nhau, ta sẽ suy ra: f y f z f x f y

   

²

 

²

 

²

 

²

 

   , x y z, , 0. f x   f zDo đó, ta phải có:

 

^{2 2}

   

^{2 2}

 

f x  f x  f z  f z C, x z, 0. Kết hợp với đẳng thức (1), ta sẽ có: x y    f C f C   

   

² 2 ² 2      f x y  , x y, 0. Nói cách khác, ta phải có: x y x y2 2 2 2 2f    f     f    C , x y, 0. Đặt ^{g x}

 

^{ f x}

 

^{C, ta có g: 0;}



^{ }



_ thỏa mãn:

     

g x y g x g y , x y, 0. Hơn nữa, g cũng phải thỏa nãm điều kiện: g x    C g x C ,  x 0.

   

Nói cách khác, ta sẽ có:

 

2 2017x g xg    C,  x 0. 1010 2019 2019Chứng minh bằng qui nạp, ta được ^{g x}

 

^xg

 

^{1 với mọi x }



^0;



. Nên cho hằng số

 

^{2 2}

 

⁰C f x  f x  thỏa mãn điều kiện với mọi x hữu tỷ dương thì:

 

^{1 2}

 

^{1 2017 1 2}

 

^{1 2017}xg xg      . C  xg C1010 2019 2019 1010 2019 2019Điều này xảy ra khi và chỉ khi ^g

 

^{1 0.} Thế thì ta phải có ^{g x}

 

^{ f x}

 

^{với mọi x0 và f}

 

^{2x 2f x}

 

^{0, với mọi x0 .} Từ đó suy ra:     f x y f x f y x y, , 0.      2 , 0f x  Cuối cũng, không khó để chứng minh được:             x x x x x1010 ... ... , 0f f f f f x x              . 1010 1010 1010 1010 1010

1010 lan

Cho nên ta có phương trình:

 

²

 

_{, 0}f x f x  x  ^{f x}

 

^0,  ^{x 0}. Thử lại, ta thấy hàm số ^{f x}

 

^{0 với mọi x0} thỏa mãn yêu cầu bài toán. ____________________ HẾT ____________________