BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC .BÀI TOÁN 5A
5. Bài toán cực trị hình học .
Bài toán 5a : ( Bài toán con chim )
Trong mặt phẳng P cho đờng thẳng d hai điểm A,B nằm cùng một nửa mặt
phẳng bờ . Xác định trên d điểm M sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất .
Giải :
a. Trờng hợp A,B nằm ở một nửa mặt phẳng : B
Gọi A
1
là điểm đối xứng của A qua trục (d) A
MA +MB = MA
1
+ MB A
1
B .
Dấu “ =” xảy ra lúc M[A
1
B]. (d)
M là giao điểm của A
1
B và d . M
TIP : Thay đổi vị trí tơng đối của A,B so với d
A
1
ta đợc một số bài toán khác cần giải quyết
Bài toán 5b :
Cho hai điểm cố định A,B cùng nằm trên mặt phẳng bờ d. Tìm trên d hai
điểm M,N sao cho :
- MN = l cho trớc .
- Tứ giác BNMA có chu vi nhỏ nhất .
B
A B’
M N d
Bài toán 5c :
A’
Cho góc nhọn xOy và một điểm M thuộc miền trong của góc. Xác định trên
Ox điểm A và trên Oy điểm B sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất .
Giải : M
1
Gọi M
1
, M
2
lần lợt là hình chiếu
của M qua trục Ox; Oy . A M
MA + AB +BM = M
1
A +AB +BM
2
M
1
M
2
Dấu “=” xãy ra khi A,B M
1
M
2
. O
A là giao điểm của M
1
M
2
với Ox. B
B là giao điểm của M
1
M
2
với Oy
M
2
TIP: Bằng cách ràng buộc thêm các điều kiện của điểm M : M chạy trên một
đoạn thẳng; chạy trên một đờng tròn nằm trong góc xOy ;Tổng OA + OB không
đổi; Thay đổi góc xOy; Thay đổi đại lợng cần tính cực trị . . . . chúng ta sẽ đợc
hàng loạt các bài toán khác .
Bài toán 5d :
Cho góc nhọn xOy và hai điểm AB thuộc miền trong của góc đó . Tìm các
điểm C,D lần lợc thuộc Ox và Oy sao cho đờng gấp khúc ACDBA có độ dài nhỏ
nhất .
Giải :
Lấy A
1
đối xứng với A qua Ox; B
1
đối xứng với B qua Oy. Do AB cố định
nên đờng gấp khúc ACBD có độ dài nhỏ nhất lúc AC + CD + DB nhỏ nhất .
Có AC +CD +DB = A
1
C + CD +DB
1
A
1
A
2
.
Dấu ”=” xảy ra lúc C,D [A
1
B
1
].
C là giao điểm của A
1
B
1
với Ox và D là giao điểm của A
1
B
1
với Oy
B
1
D B
O A
C
A
1
Bài toán 5e :
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. M là điểm thuộc cạnh BC. I,J lần lợt là
hình chiếu của M xuống hai cạnh AB, AC .M
1
, M
2
lần lợt là điểm đối xứng của M
qua AB,AC . E,F lần lợt là giao điểm của M
1
M
2
với AB,AC . Xác định M
a. Để IJ nhỏ nhất; lớn nhất .
b. Để tam giác MEF có chu vi nhỏ nhất .
A M
2
E F
M
1
J
I
B M C
a. 2IJ = M
1
M
2
.
AM
1
=AM=AM
2
.
M
1
AM
2
=2BAC = CONST.
IJ min (max) <=> M
1
M
2
min (max)
<=> AM
1
min (max) <=> AM min (max) .
AM nhỏ nhất khi AM BC .
AM lớn nhất khi AM = Max(AB,AC )
b. Chu vi tam giác MEF = MF + ME +EF = M
1
M
2