CHO KGĐC(X,K.K) VÀX0 LÀ KHÔNG GIAN CON HỮU HẠN CHIỀU CỦA X. CHỨ...
Bài 5.
Cho kgđc
(X,
k.k)
và
X
0
là không gian con hữu hạn chiều của
X. Chứng minh tồn tại
x
0
∈
X
0
sao cho
ka
−
x
0
k
= inf
ka
−
xk
x∈X
0
Giải.
Đặt
d
= inf{ka
−
xk
:
x
∈
X
0
}
và chọn dãy
{x
n
} ⊂
X
0
thỏa mãn
lim
ka
−
x
n
k
=
d.
Ta có:
kx
n
k ≤ kak
+
ka
−
x
n
k
nên
{x
n
}
bị chặn
∃M >
0 :
{x
n
} ⊂
B(θ, M)
Tập
B
(θ, M
)
∩
X
0
compact (do
dim
X
0
<
∞) nên
{x
n
}
có dãy con
{x
n
k
}
hội tụ về
x
0
∈
X
0
.
Khi đó:
d
= lim
k→∞
ka
−
x
n
k
k
(vì
{ka
−
x
n
k
k}
k
là dãy con của
{ka
−
x
n
k})
=
ka
−
x
0
k
Ghi chú: Bài này còn có thể giải bằng cách tìm số
M >
0
sao cho
ka
−
xk
=
inf
x∈X
inf
0
x∈X
0
∩B(θ,M
)
Sau đó sử dụng tính compact của tập
X
0
∩
B(θ, M
)
và tính liên tục của hàm
x
7→ ka
−
xk