6 NỘI SUY BẰNG ĐA THỨC NIUTƠN TA XÉT MỘT PHƯƠNG PHÁP KHÁC ĐỂ TÌM ĐA THỨC NỘI SUY PHƯƠNG PHÁP NIUTƠN
4.1.6 Nội suy bằng đa thức Niutơn
Ta xét một phương pháp khác để tìm đa thức nội suy phương pháp Niutơn.
•
Khái niệm tỷ hiệu
Giả sử hàm f(x) có lưới đã cho như trong bảng 4-1.
Tỉ hiệu cấp một của y tại x
i
, x
j
là :
=
−
)
(
y
i
j
y
−
x
,
]
[
i
x
x
Tỉ hiệu cấp hai của y tại x
i
, x
j
, x
k
là
])
k
Và tiếp tục như thế ta có các tỉ hiệu cấp cao hơn.
Với y(x) = P
n
(x) là một đa thức bậc n thì tỉ hiệu cấp một tại x, x
0
là :
]
[
x
P
P
)]
0
P
n
n
n
−
0
x
x
là một đa thức bậc n-1. Tỉ hiệu cáp hai tại x, x
0
, x
1
là :
]
(
1
Là một đa thức bậc n-2, v.v.. và tới tỉ hiệu cấp n+1 thì :
P
n
[x, x
0
, ...,x
n
] = 0
Từ các biểu thức trên ta suy ra:
P
n
(x) =P
n
(x
0
) + (x - x
0
)P
n
[x, x
0
]
P
n
[x, x
0
] = P
n
[x
0
, x
1
] + (x - x
1
) P
n
[x, x
0
, x
1
]
P
n
[x, x
0
, x
1
] = P
n
[x
0
, x
1
, x
2
] + (x - x
2
) P
n
[x, x
0
, x
1
, x
2
]
. . .
P
n
[x, x
0
,..., x
n-1
] = P
n
[x
0
,..., x
n
] + (x - x
n
) P
n
[x, x
0
,..., x
n
]
Chú ý đến P
n
[x, x
0
, ...,x
n
] = 0 ta rút ra :
P
n
(x) = P
n
(x
0
) + (x - x
0
)P
n
[x
0
, x
1
] + (x - x
0
)(x - x
1
)P
n
[x
0
, x
1
, x
2
] + ...
+ (x - x
0
)...(x - x
n-1
) P
n
[x
0
,..., x
n
]
(4-8)
Nếu P
n
(x) = p
n
(x) là đa thức nội suy của hàm y = f(x) thì :
P
n
(x
i
) = p
n
(x
i
) = y
i
với i = 0,1,2,..,n.
Do vậy các tỉ hiệu từ cấp một tới cấp n củaPn và y trong công thức (4-8) là
trùng nhau.
Vì vậy thay cho (4-8) ta có :
p
n
(x) = y
0
+ (x - x
0
) y[x
0
, x
1
] + (x - x
0
)(x - x
1
) y[x
0
, x
1
, x
2
] + ...
+ (x - x
0
)...(x - x
n-1
) y[x
0
,..., x
n
]
(4-9)
Đa thức này gọi là Đa thức Niutơn tiến xuất phát từ nút x
0
của hàm y = f(x).
Ta cũng tính được đa thức Niutơn lùi xuất phát từ nút x
n
của hàm y = f(x) là :
p
n
(x) = y
n
+ (x - x
n
) y[x
n
, x
n-1
] + (x - x
n
)(x - x
n-1
) y[x
n
, x
n-1
, x
n-2
] + ...
+ (x - x
n
)(x - x
n-1
) ... (x - x
1
) y[x
n
, ..., x
0
] (4-10)
* Chú ý : 1)Theo định nghĩa tỉ hiệu có tính chất đối xứng :
y[x
i
, x
j
] = y[x
j
, x
i
]
y[x
i
, x
j
, x
k
] = y[x
k
, x
j
, x
i
]
....