1 VẤN ĐỀ NỘI SUY TRONG THỰC TẾ NHIỀU KHI PHẢI PHỤC HỒI MỘT HÀM SỐ F(X) TẠI MỌI GIÁ TRỊ CỦA X TRÊN ĐOẠN A ≤ X ≤ B MÀ CHỈ BIẾT MỘT SỐ HỮU HẠN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT SỐ HỮU HẠN CÁC ĐIỂM RỜI RẠC CỦA ĐOẠN ĐÓ
4.1.1 Vấn đề nội suy
Trong thực tế nhiều khi phải phục hồi một hàm số f(x) tại mọi giá trị của x
trên đoạn a ≤ x ≤ b mà chỉ biết một số hữu hạn giá trị của hàm số tại một số hữu
hạn các điểm rời rạc của đoạn đó. Các giá trị đó được cung cấp qua thực nghiệm
hay tính toán. Vậy ta có vấn đề toán học sau :
Trên đoạn a ≤ x ≤ b có một lưới các điểm chia ( ta gọi các điểm chia này là nút)
x
i
, i = 0,1,2,..,n tức là a ≤ x
0
, x
1
, x
2
, .. , x
n
≤ b tương ứng tại các x
i
ta có giá trị
của hàm số y = f(x) là y
i
= f(x
i
) như trên bảng sau:
Bảng 4-1
x x
0
x
1
x
2
.. x
n-1
x
n
y y
0
y
1
y
2
.. y
n-1
y
n
Bây giờ ta phải tìm hàm f(x) dưới dạng một đa thức dựa vào bảng trên đây.
Giả sử ta xây dựng được đa thức bậc n : p
n
(x) =a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ ...+ a
n-1
x + a
n
. Sao
cho p
n
(x) trùng với f(x) tại các nút x
i
, tức là p
n
(x
i
) = y
i
, i = 0,1,2,..,n . Đa thức
p
n
(x) gọi là đa thức nội suy của hàm f(x). Ta chọn đa thức để nội suy hàm f(x) vì
đa thức là loại hàm đơn giản, luôn có đạo hàm và nguyên hàm, việc tính giá trị
cũng dễ dàng. Ta có p
n
(x) = ((a
0
x +a
1
)x +a
2
) ...) +a
n
Do đó có sơ đồ Hoocne
tính giá trị p
n
(c):
b
0
= a
0
, b
1
= b
0
c + a
1
, b
2
= b
1
c +a
2
, ... ,b
n
= b
n-1
c + a
n
= p
n
(c)