2 SỰ DUY NHẤT CỦA ĐA THỨC NỘI SUY ĐỊNH LÝ 4
4.1.2 Sự duy nhất của đa thức nội suy
Định lý 4.1 Đa thức nội suy p
n
(x) của hàm số f(x) định nghĩa ở trên nếu có
thì chỉ có một mà thôi.
Chứng minh: Giả sử có hai đa thức p
n
(x) và q
n
(x) cùng nội suy cho một
hàm f(x) Lúc đó ta phải có :
p
n
(x
i
) = y
i
, q
n
(x
i
) = y
i
Vậy hiệu p
n
(x) - q
n
(x) là một đa thức có bậc ≤n lại triệt tiêu tại n + 1 giá trị khác
nhau x
i
vì p
n
(x
i
) - q
n
(x
i
) = y
i
- y
i
= 0. Do đó p
n
(x) - q
n
(x) phải đồng nhất không,
nghĩa là p
n
(x) ≡ q
n
(x). Đa thức nội suy có thể xây dựng bằng nhiều cách, nhưng
vì nó có tính duy nhất, nên tất cả các dạng của nó đều có thể quy về nhau được.