5 SAI SỐ NỘI SUY VÀ VẤN ĐỀ CHỌN NÚT NỘI SUY ĐỊNH LÝ 4-2
4.1.5 Sai số nội suy và vấn đề chọn nút nội suy
Định lý 4-2. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b} và có trong (a,b) đạo hàm
đến cấp n+1 thì sai số nội suy r
n
(x) = f(x) -p
n
(x) có biểu thức :
)
[
a
b
c
x
)
(
(
(
1
)
∈
(
r
n
n
,
,
x
f
n
c
=
+
π
+
]
(4-5)
1
)!
Trong đó
π(x) = (x-x
0
)(x-x
1
)...(x-x
n
) (4-6)
Định lý này có nghĩa là nếu tại một giá trị xác định x ∈ [a,b] ta thay f(x)
bởi p
n
(x) cho đơn giản thì ta phạm phải một sai số tính bởi (4-5).
Chú thích : Sai số nội suy r
n
(x) phụ thuộc vào đa thức
π(x) tức là phụ
thuộc sự phân bố các nút x
i
trên đoạn [x
0
,x
n
]. Trong trường hợp các nút cách đều
(hình 4-1 với n = 4) ta thấy |π(x)| nhỏ khi x ở khoảng giữa của x
0
, x
n
lớn dần khi
x ra gần hai mút và càng lớn khi x vượt ra ngoài khoảng đó. Vậy liệu có thể chọn
các nút x
i
không cách đều sao cho |π(x)| “bé nhất” được không? Có câu trả lời là
với a = -1, b =1 thì các nút tối ưu đó là :
=
+
x
i
i
i=
0,1,...,n
(4-7)
cos
2
π
+
.
2
n
)
1
Đó là các nghiệm của đa thức Trêbưsép:
cos[(
1
)
arccos
]
1
(
x
n
x
T
n
+
=
n
+
2
≤
1
. Các nút (4-7) thưa ở khoảng giữa đoạn [-1,1]
Lúc đó ta có π(x) = |T
n+1
(x) |
n
và mau đần ở gần hai nút -1,+1 (hình 4-2).
=
2
−
để đưa khoảng a ≤ x ≤ b
−
b
a
t
x
Khi a ≠ -1 và b ≠ 1 ta dùng phép đổi biến
về khoảng -1≤ t ≤ 1 rồi chọn các nút t
i
theo (4-7).
-1 x
4
x
3
x
2
x
1
x
0
1
Hình 4-1
Hình 4-2