BÀI 4. CHO KGĐCX VÀ CÁC TẬPA, B ⊂X KHÁC ∅. CHỨNG MINH

2. Xét tùy ý dãy

{x

n

} ⊂

A

+

B

, ta chứng minh

{x

n

}

có dãy con hội tụ về phần tử thuộc

A

+

B.

Ta có:

x

n

=

a

n

+

b

n

với

a

n

A, b

n

B.

Do

A

compact nên

{a

n

}

có dãy con

{a

n

k

}

k

hội tụ về một

a

A. Do

B

compact nên dãy

{b

n

k

}

k

có dãy con

{b

n

kl

}

l

hội tụ về

b

B. Tương ứng với dãy

{b

n

kl

}

l

ta có dãy

{a

n

kl

}

l

vẫn hội tụ về

a.

Suy ra dãy con

x

n

kl

=

a

n

kl

+

b

n

kl

hội tụ về

a

+

b

(đpcm).

Ghi chú: Câu này có thể giải như sau:

Xét kgđc tích

X

×

X

và ánh xạ

f

:

X

×

X

X,

f

(x, y) =

x

+

y. Ta có:

(f

liên tục,

A

×

B

là tập compact trong

X

×

X)

=

f

(A

×

B)

là tập compact trong

X.

Do

f

(A

×

B

) =

A

+

B

ta có đpcm.