BÀI 4. CHO KGĐCX VÀ CÁC TẬPA, B ⊂X KHÁC ∅. CHỨNG MINH
2. Xét tùy ý dãy
{x
n
} ⊂
A
+
B
, ta chứng minh
{x
n
}
có dãy con hội tụ về phần tử thuộc
A
+
B.
Ta có:
x
n
=
a
n
+
b
n
với
a
n
∈
A, b
n
∈
B.
Do
A
compact nên
{a
n
}
có dãy con
{a
n
k
}
k
hội tụ về một
a
∈
A. Do
B
compact nên dãy
{b
n
k
}
k
có dãy con
{b
n
kl
}
l
hội tụ về
b
∈
B. Tương ứng với dãy
{b
n
kl
}
l
ta có dãy
{a
n
kl
}
l
vẫn hội tụ về
a.
Suy ra dãy con
x
n
kl
=
a
n
kl
+
b
n
kl
hội tụ về
a
+
b
(đpcm).
Ghi chú: Câu này có thể giải như sau:
Xét kgđc tích
X
×
X
và ánh xạ
f
:
X
×
X
→
X,
f
(x, y) =
x
+
y. Ta có:
(f
liên tục,
A
×
B
là tập compact trong
X
×
X)
=
⇒
f
(A
×
B)
là tập compact trong
X.
Do
f
(A
×
B
) =
A
+
B
ta có đpcm.