CHO DÃY SỐ ( XN) XÁC ĐỊNH BỞI X1= 1 VÀ XN+1= XN+ 3 PXN+PNXN VỚI...

Question

Bài 1. Cho dãy số ( xn) xác định bởi x1= 1 và xn+1= xn+ 3 pxn+pnxn với mọi n ≥ 1.na) Chứng minh rằng limxn = 0.n→+∞n2b) Tính giới hạn limxn.Lời giải. a) Ta dự đoán xn> n2, ∀ n > 1 và có thể chứng minh bằng quy nạp như sau.Với n = 2, ta có x2= 1 + 3 p1 +p11 = 5 > 22 nên khẳng định đúng.Giả sử ta đã có xn> n2, khi đóxn+1> xn+ 3 pxn> n2+ 3n ≥ ( n + 1)2.Do đó, theo nguyên lý quy nạp thì khẳng định trên được chứng minh.1Từ đó suy ra 0 < xnn < 1n, mà limxn = 0.n = 0 nên theo nguyên lý kẹp thì limn→+∞b) Cách 1. (sử dụng định lý trung bình Cesaro – định lý Stolz)Đặt xn = yn2 thì công thức đã cho viết lại thành yn+12 = yn2+ 3 yn+ ynn nên( yn+1− yn)( yn+1+ yn) = 3 yn+ nynhayn.yn+1− yn= 3 yn+ ynq yn2+ 3yn+ ynn+ yn = 3 + yn2Ç 1 + y3n + yn3yn+1+ yn = 3 yn+ ynn + 1Theo câu a thì limyn = 0 nên kéo theo limyn = limyn3 = 0 và dựa theo đẳngthức trên thì limn→+∞( yn+1− yn) = 32. Theo định lý trung bình Cesaro thì dãy số ( un) cóu1+u2+···+unn→+∞lim un= L thì limn = L.Xét dãy un = yn+1− yn, áp dụng ta dễ dàng có đượcn2n→+∞lim9 .2 nên limxn = 4n = 3Cách 2. (dùng nguyên lý kẹp) Trước hết, xét hiệuxn+1− xnn2 +p1x( n + 1 )2− n2 = 3 p xn+pnx2n + 1 = 3 Æx2 +1n ,xnta thấy rằng nếu liml → l =94.n2 = l thì theo định lý Stolz, ta phải có l = 32pNhờ dự đoán này, ta có thể thực hiện ước lượng để xây dựng BĐT và kẹp như sau: Vìxn> n2 nên pnxn < 1, từ đó dễ dàng chứng minh bằng quy nạp đượcxn< 94 n2, ∀ n ≥ 2.Sử dụng ước lượng pa − b > pa −pba với a > b > 0, ta có2p xn+ 3xn+1> xn+ 3 pxn+ 2− 23 > 2vutp xn+1>− 2 > pxn+ 3p xn+32.2 − 2Suy ra p xn+1> p xn+32−2n nên 1p xn+1> 1 + 3n2 + · · · + 1n1 + 1Mặt khác, dễ dàng chứng minh bằng quy nạp rằng1n, ∀ n ≥ 1n ≤ pn.nên ta được 3n2 > p xn+1 >3n2 − 2 pTheo nguyên lý kẹp, dễ dàng suy ra limnx2n =49.Nhận xét. Câu b có thể sử dụng định lý Stolz cho dãy ( yn) và dãy zn = n cũng thuđược kết quả tương tự, vì thực ra định lý Stolz còn tổng quát hơn cả định lý trung bìnhxn+1−xnCesaro: Cho hai dãy số ( xn) , ( yn) có yn dương, tăng, tiến tới vô cực và limyn+1−yn = Lxnthì limyn = L. Dấu hiệu nhận biết định lý Stolz cho câu b là khá rõ. Nếu ở trên khôngthực hiện đặt dãy phụ thì vẫn có thể xét hiệu p xn+1− p xn. Tuy nhiên, nếu ta đi theohướng xét trực tiếp dãy xn và n2 thì hơi khó, vì khi đó không dễ để tính trực tiếp đượcgiới hạn sau (cũng khó có thể chứng minh được tính tăng/giảm của dãy nxn2, dù trên thựctế, nó đúng là dãy tăng).xn+1− xn2n + 1 .Dãy số theo dạng un+1 = un+ uαn và cả hai ý là không mới, tùy vào giá trị α, ta có thểước lượng được “tốc độ” tăng của dãy này, xấp xỉ với n, n2 hay 1n, . . .Một bài tương tự:1. (Đề tiêu thụ bài giảng trường Đông miền Nam 2019) Cho dãy số ( un) thỏa mãnu1> 0, un+1= un+u12n, n = 1, 2, 3, . . . Chứng minh rằng limxn3n = 3.2. (VMO 2017 Mock test) Cho dãy số ( un) thỏa mãnun+ n2u1= 20172016 , un+1= un+ 2 pun với n ≥ 1.a) Tính pu2018b) Chứng minh rằng an= u11 +u12+ · · · +u1n hội tụ.c) Chứng minh rằng bn= u11 +u22 + · · · +unn → +∞.3. Cho dãy số a1 > 0, an+1 = an+ann với n ≥ 1. Tính giới hạn của các dãy số saubn= ann và cn = an− n.4. (Chọn đội tuyển Đồng Nai 2019) Cho dãy số ( xn) thỏa mãn xn+1=13xn+p2nxn( n − 1 )2< xn< p3Chứng minh rằng Æ3n2, ∀ n ≥ 3 và tính limxp3n+1−xnn2−xn

Answer

Bài 1. Cho dãy số ( xn) xác định bởi x1= 1 và xn+1= xn+ 3 pxn+pnxn với mọi n ≥ 1.na) Chứng minh rằng limxn = 0.n→+∞n2b) Tính giới hạn limxn.Lời giải. a) Ta dự đoán xn> n2, ∀ n > 1 và có thể chứng minh bằng quy nạp như sau.Với n = 2, ta có x2= 1 + 3 p1 +p11 = 5 > 22 nên khẳng định đúng.Giả sử ta đã có xn> n2, khi đóxn+1> xn+ 3 pxn> n2+ 3n ≥ ( n + 1)2.Do đó, theo nguyên lý quy nạp thì khẳng định trên được chứng minh.1Từ đó suy ra 0 < xnn < 1n, mà limxn = 0.n = 0 nên theo nguyên lý kẹp thì limn→+∞b) Cách 1. (sử dụng định lý trung bình Cesaro – định lý Stolz)Đặt xn = yn2 thì công thức đã cho viết lại thành yn+12 = yn2+ 3 yn+ ynn nên( yn+1− yn)( yn+1+ yn) = 3 yn+ nynhayn.yn+1− yn= 3 yn+ ynq yn2+ 3yn+ ynn+ yn = 3 + yn2Ç 1 + y3n + yn3yn+1+ yn = 3 yn+ ynn + 1Theo câu a thì limyn = 0 nên kéo theo limyn = limyn3 = 0 và dựa theo đẳngthức trên thì limn→+∞( yn+1− yn) = 32. Theo định lý trung bình Cesaro thì dãy số ( un) cóu1+u2+···+unn→+∞lim un= L thì limn = L.Xét dãy un = yn+1− yn, áp dụng ta dễ dàng có đượcn2n→+∞lim9 .2 nên limxn = 4n = 3Cách 2. (dùng nguyên lý kẹp) Trước hết, xét hiệuxn+1− xnn2 +p1x( n + 1 )2− n2 = 3 p xn+pnx2n + 1 = 3 Æx2 +1n ,xnta thấy rằng nếu liml → l =94.n2 = l thì theo định lý Stolz, ta phải có l = 32pNhờ dự đoán này, ta có thể thực hiện ước lượng để xây dựng BĐT và kẹp như sau: Vìxn> n2 nên pnxn < 1, từ đó dễ dàng chứng minh bằng quy nạp đượcxn< 94 n2, ∀ n ≥ 2.Sử dụng ước lượng pa − b > pa −pba với a > b > 0, ta có2p xn+ 3xn+1> xn+ 3 pxn+ 2− 23 > 2vutp xn+1>− 2 > pxn+ 3p xn+32.2 − 2Suy ra p xn+1> p xn+32−2n nên 1p xn+1> 1 + 3n2 + · · · + 1n1 + 1Mặt khác, dễ dàng chứng minh bằng quy nạp rằng1n, ∀ n ≥ 1n ≤ pn.nên ta được 3n2 > p xn+1 >3n2 − 2 pTheo nguyên lý kẹp, dễ dàng suy ra limnx2n =49.Nhận xét. Câu b có thể sử dụng định lý Stolz cho dãy ( yn) và dãy zn = n cũng thuđược kết quả tương tự, vì thực ra định lý Stolz còn tổng quát hơn cả định lý trung bìnhxn+1−xnCesaro: Cho hai dãy số ( xn) , ( yn) có yn dương, tăng, tiến tới vô cực và limyn+1−yn = Lxnthì limyn = L. Dấu hiệu nhận biết định lý Stolz cho câu b là khá rõ. Nếu ở trên khôngthực hiện đặt dãy phụ thì vẫn có thể xét hiệu p xn+1− p xn. Tuy nhiên, nếu ta đi theohướng xét trực tiếp dãy xn và n2 thì hơi khó, vì khi đó không dễ để tính trực tiếp đượcgiới hạn sau (cũng khó có thể chứng minh được tính tăng/giảm của dãy nxn2, dù trên thựctế, nó đúng là dãy tăng).xn+1− xn2n + 1 .Dãy số theo dạng un+1 = un+ uαn và cả hai ý là không mới, tùy vào giá trị α, ta có thểước lượng được “tốc độ” tăng của dãy này, xấp xỉ với n, n2 hay 1n, . . .Một bài tương tự:1. (Đề tiêu thụ bài giảng trường Đông miền Nam 2019) Cho dãy số ( un) thỏa mãnu1> 0, un+1= un+u12n, n = 1, 2, 3, . . . Chứng minh rằng limxn3n = 3.2. (VMO 2017 Mock test) Cho dãy số ( un) thỏa mãnun+ n2u1= 20172016 , un+1= un+ 2 pun với n ≥ 1.a) Tính pu2018b) Chứng minh rằng an= u11 +u12+ · · · +u1n hội tụ.c) Chứng minh rằng bn= u11 +u22 + · · · +unn → +∞.3. Cho dãy số a1 > 0, an+1 = an+ann với n ≥ 1. Tính giới hạn của các dãy số saubn= ann và cn = an− n.4. (Chọn đội tuyển Đồng Nai 2019) Cho dãy số ( xn) thỏa mãn xn+1=13xn+p2nxn( n − 1 )2< xn< p3Chứng minh rằng Æ3n2, ∀ n ≥ 3 và tính limxp3n+1−xnn2−xn