BÀI KÝ HIỆU L2 LÀ KHÔNG GIAN CÁC DÃY SỐ THỰC X = {ΛK}K THỎA MÃN ĐIỀ...
2. Giả sử
{x
n
}
là dãy Cauchy trong
l
2
, x
n
=
{λ
n
k
}
k
, n
∈
N
∗
.
•
Với mỗi
k
∈
N
∗
, ta có:
∞
!
1/2
X
|λ
n
k
−
λ
m
k
| ≤
|λ
n
k
−
λ
m
k
|
2
=
kx
n
−
x
m
k
(1)
k=1
và
{x
n
}
là dãy Cauchy nên
{λ
n
k
}
n
là dãy Cauchy trong
R
, do đó hội tụ.
Đặt
a
k
= lim
n→∞
λ
n
k
(k
∈
N
∗
)
và lập dãy số
a
=
{a
k
}
•
Tiếp theo ta sẽ chứng minh
a
∈
l
2
và
lim
n→∞
kx
n
−
ak
= 0
Cho
ε >
0
tùy ý. Do
{x
n
}
là dãy Cauchy ta có
n
0
thỏa mãn
∀n, m
∈
N
∗
,
n, m
≥
n
0
⇒ kx
n
−
x
m
k
< ε.
Từ (1) ta có
N
|λ
n
k
−
λ
m
k
|
2
< ε
2
∀N
∈
N
∗
,
∀n, m
≥
n
0
⇒
|λ
n
k
−
a
k
|
2
≤
ε
2
∀N
∈
N
∗
,
∀n
≥
n
0
(ta đã cho
m
→ ∞
trong bđt trên)
⇒
P
∞
k=1
|λ
n
k
−
a
k
|
2
≤
ε
2
∀n
≥
n
0
(2)
Từ (2) ta suy ra
x
n
−
a
∈
l
2
(n
≥
n
0
)
và do đó
a
=
x
n
−
(x
n
−
a)
cũng thuộc
l
2
. Hơn
nữa, ta đã chứng minh:
∀ε >
0∃n
0
:
∀n
≥
n
0
=
⇒ kx
n
−
ak ≤
ε
hay là
lim
kx
n
−
ak
= 0
Ghi chú
Ở trên ta không kiểm tra
l
2
là kgvt và các điều kiện của chuẩn. Để làm ví dụ, ta sẽ chứng
minh rằng nếu
x
=
{λ
k
} ∈
l
2
, y
=
{α
k
} ∈
l
2
thì
x
+
y
∈
l
2
và
kx
+
yk ≤ kxk
+
kyk. Thật vậy,
ta có theo bất đẳng thức Bunhiakowski:
P
N
k=1
α
2
k
k=1
λ
k
α
k
+
P
N
k=1
λ
2
k
+ 2
P
N
k=1
(λ
k
+
α
k
)
2
=
P
N
≤ kxk
2
+ 2kxk.kyk
+
kyk
2
∀N
∈
N
∗
.
Cho
N
→ ∞
ta có đpcm.