= P(X−Y) LÀ MỘT MÊTRIC TRÊN X, GỌI LÀ MÊTRIC SINH BỞI CHUẨN P (HAY D(X, Y) =||X−Y||)VÍ DỤ 1
2.
d(x, y) :=
p(x
−
y)
là một mêtric trên
X, gọi là mêtric sinh bởi chuẩn
p
(hay
d(x, y) =
||x
−
y||)
Ví dụ 1.
Trên
R
n
ánh xạ
!
1/2
n
X
x
2
k
x
= (x
1
, . . . , x
n
)
7→ ||x||
=
k=1
là chuẩn, gọi chuẩn Euclide. Mêtric sinh bởi chuẩn này chính là mêtric thông thường của
R
n
.
Ví dụ 2.
Trên
C[a, b], ánh xạ
x
7→ ||x||
:= sup
a≤t≤b
|x(t)|
là một chuẩn mêtric sinh bởi chuẩn
này là
mêtric hội tụ đều
trên
C[a, b]
2
Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.
•
Không gian vectơ
X
cùng với chuẩn
|| · ||
trong nó, được gọi là một không gian định chuẩn
(kgđc), ký hiệu
(X,
|| · ||).
•
Các khái niệm hội tụ, tập mở, đóng, compact, dãy Cauchy,
· · ·
trong
(X,
|| · ||)
được hiểu
là các khái niệm tương ứng đối với mêtric sinh bởi chuẩn.
Nói riêng, trong
(X,
|| · ||)
ta có
B(x
0
, r) =
{x
∈
X
:
||x
−
x
0
||
< r}
||·||
−→
x))
⇐⇒
lim
( lim
n→∞
x
n
=
x(cũng viết
x
n
n→∞
||x
n
−
x||
= 0
({x
n
}
là dãy Cauchy)
⇐⇒
lim
n,m→∞
||x
n
−
x
m
||
= 0.
Định nghĩa 2.
Kgđc
(X,
|| · ||)
được gọi là không gian Banach nếu
X
với mêtric sinh bởi
|| · ||
là không gian đầy đủ.
Vì kgđc là trường hợp đặc biệt của không gian mêtric nên tất cả các kết quả về không gian
mêtric cũng đúng cho kgđc. Ngoài ra, ta có các kết quả sau về kgđc.
Mệnh đề 2.
Cho Kgđc
(X,
k.k)
trên trường số
K
và các dãy
{x
n
},
{y
n
} ⊂
X,
{λ
n
} ⊂
K,
lim
x
n
=
x,
lim
y
n
=
y,
lim
λ
n
=
λ. Khi đó :