Bài 17 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A và B chạy trên parabol P y x : 2 sao cho
A B O và OA OB . Giả sử I là trung điểm của đoạn AB .
, 0;0
a) Tìm quỹ tích điểm trung điểm I của đoạn AB .
b) Đường thẳng AB luôn luôn đi qua một điểm cố định.
c) Xác định tọa độ điểm A và B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Lời giải:
a) Giả sử A a a ; 2 và B b b ; 2 là hai điểm thuộc P . Để A B O , 0;0 và OA OB ta cần điều
kiện: ab 0 và OA 2 OB 2 AB 2 hay ab 0 và a 2 a 4 b 2 b 4 a b 2 a 2 b 2 2 . Rút gọn hai
30. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
vế ta được: ab 1 . Gọi I x y 1 ; 1 là trung điểm đoạn AB . Khi đó:
x a b
1
2
2 2 2
2 2 1
a b ab
a b
y x
1 1
2 2
Vậy tọa độ điểm I thỏa mãn phương trình y 2 x 2 1 .
Ta cũng có thể tìm điều kiện để OA OB theo cách sử dụng hệ số góc: Đường thẳng OA có hệ số
k b b
k a a
góc là
a , đường thẳng OB có hệ số góc là
b . Suy ra điều kiện để OA OB là
. 1
a b
b) Phương trình đường thẳng đi qua A và B là AB : x a y a 2 2 2
hay
b a b a
AB y : a b x ab a b x 1 . Từ đây ta dễ dàng suy ra đường thẳng AB y : a b x 1
luôn luôn đi qua điểm cố định 0;1 .
c) Vì OA OB nên ab 1 . Độ dài đoạn AB a b 2 a 2 b 2 2 hay
2 2 2 4 4 2 2 2
AB a b ab a b a b Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có a 2 b 2 2 a b 2 2 2 ab ,
4 4 2a 2 2
a b b . Ta có: AB 2 ab 2 2 a b 2 2 2 a b 2 2 2 . Vậy AB ngắn nhất bằng 2 khi
2 2 , 1
a b ab . Ta có thể chỉ ra cặp điểm đó là: A 1;1 và B 1;1 .
Bạn đang xem bài 17 : - Chuyên đề hàm số $y = a{x^2}$ $\left( {a \ne 0} \right)$ -
