(3,5 ĐIỂM) CHO ĐƯỜNG TRÒN O R;  ĐƯỜNG KÍNH AB, DÂY CUNG MN V...

Câu 5. (3,5 điểm) Cho đường tròn



^{O R;}



đường kính AB, dây cung MN vuông góc với AB tại I sao cho AI BI. Trên đoạn thẳng MI lấy điểm H



^{H khác M và I}



^{, tia AH} cắt đường tròn



^{O R;}



tại điểm thứ hai là K. Chứng minh rằng: a) Tứ giác BIHK nội tiếp đường tròn. b) AHM đồng dạng với AHK.c) AH AK BI AB 4R

²

.Lời giải

K

M

H

B

A

I

O

N

a) Ta có AKB90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BKH 90. 90 90 180BIH BKH       nên BIHK là tứ giác nội tiếp (dhnb). Xét tứ giác BIHK ^có:  b) Ta có: AMB90 (góc nội tiểp chắn nừa đường tròn).    AMH BMH AMH ABM90 90       ABM AKM ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung  )AM  AMH AKM. Lại có  MAK AHM AMK g g chung ∽ . ( )Xét AHM và AMK có:      AMH AKM cmtAHM AMK cmt ∽   (2 cạnh tương ứng) AH AK. AM

²

.c) Vì ( ) AH AMAM AKXét tam giác vuông ABM có đường cao MI ^{ta có:} BI BA BM

²

(hệ thức lượng trong tam giác vuông).

2

2

. . .AH AK BI AB AM BM   Mà ABM vuông tại M cmt( ) nên áp dụng định lí Pytago ta có AM

²

BM

²

AB

²

(2 )R

²

4R

²

. Vậy AH AK BI AB.  . 4R

²

(đpcm)