CHỨNG MINH VỚI MỌIM6=0ĐỒ THỊ HÀM SỐ(1)CẮT(D)
Bài 14.
Cho hàm số:
y
=
2x
−
m
mx
+
1
(1). Chứng minh với mọi
m
6=
0
đồ thị hàm số
(1)
cắt
(d)
:
y
=
2x
−
2m
tại
2 điểm phân biệt
A,
B
thuộc một đường
(H)
cố định. Đường thẳng
(d)
cắt các trục
Ox,
Oy
lần lượt tại
các điểm
M,
N. Tìm
m
để
S
OAB
=
3S
OMN
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
(1)
và đường thẳng
d:
2x
−
m
(2)
x
6=
−
1
m
mx
+
1
=
2x
−
2m
⇔
2mx
2
−
2m
2
x
−
m
=
0
(∗)
Do
m
6=
0
nên (2)
⇔
f
(x) =
2x
2
−
2mx
−
1
=
0
Để tồn tại 2 điểm
A,
B
thì pt
(∗)
phải có 2 nghiệm phân biệt
x
A
;
x
B
khác
−
1
∆
0
=
m
2
+
2
>
0
⇔
⇔ ∀m
6=
0
f
(−
1
m
) =
2
m
2
+
1
6=
0
Mặt khác có
x
A
.x
B
=
1
2
nên
A,
B
luôn thuộc một đường
(H)
cố định.
√
Kẻ
OH⊥AB
⇒
OH
=
d
(O,d)
=
|−2m|
5
. Lại có
A,
B
∈
d
⇒
y
A
=
2x
A
−
2m;
y
B
=
2x
B
−
2m
x
A
+
x
B
=
m
Theo viet có:
.
x
A
.x
B
=
1
2
5(x
A
−
x
B
)
2
=
p
5(x
A
+
x
B
)
2
−
20x
A
x
B
⇔
AB
=
√
(x
A
−
x
B
)
2
+ (y
A
−
y
B
)
2
=
p
Có:
AB
=
p
5m
2
+
10
Vì
M,
N
là giao điểm của
d
với
Ox,
Oy
nên
M(m; 0);
N(0; 2m)
Theo giả thiết :S
OAB
=
3S
OMN
⇔
OH.AB
=
3OM.ON
⇔
|−2m|
5m
2
+
10
=
3
|x
M
| |y
N
|
5
.
√
⇔
|−2m|
√
5
.
√
5m
2
+
10
=
3
|m| |2m| ⇔
√
m
2
+
2
=
3
|m| ⇔
m
2
+
2
=
9m
2
⇔
m
=
±
1
Vậy với
m
=
±
1
2
là các giá trị cần tìm .