(1,0 ĐIỂM) CHO HÌNH CHÓP S.ABCD CÓ ĐÁY ABCD LÀ HÌNH VUÔNG CẠNH A...
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa SA và BD.
1,0
+) Ta có
S
ABCD
AB
2
a
2
Gọi H là trung điểm của AB
SH
AB
và
0,25
S
SH
a
3
2
SAB
ABCD
(
)
(
)
Ta có
(
)
(
)
(
)
AB
SAB
ABCD
SH
ABCD
E
B
C
M
(
),
SH
SAB
SH
AB
O
H
N
a
a
1
1
3
3
A
D
.
.
.
.
V
SH S
a
(đvtt)
.
S ABCD
ABCD
3
3
2
6
Dựng
Ax
/ /
BD
, Gọi
M
Ax
BC
,
Dựng Hy//AC cắt AM tại N. Dựng HE vuông góc với SN tại E
Ta có AM//BDBD//(SAM) d(BD,SA)=d(BD,(SAM))=d(B,(SAM)) =2d(H,(SAM))
AC
AM
Ta có
AM
/ /
BD
AC
BD
Có
HN
/ /
AC
HN
MA
(1)
MA
AC
Ta có
SH
(
ABCD
)
SH
AM
(2)
Từ (1) và (2) ta có
MA
(
SHN
)
AM
HE
(3)
Theo cách dựng ban đầu ta lại có
HE
SN
(4)
Từ (3) và (4) suy ra
HE
(
SAM
)
d H SAM
( , (
))
HE
HN
d B AM
d O AM
OA
a
(Với
O
AC
BD
)
Ta có
1
( ,
)
1
( ,
)
1
2
2
2
2
4
(
)
SH
ABCD
SH
HN
, suy ra tam giác SHN vuông tại H
Ta có
1
2
1
2
1
2
16
2
4
2
28
2
HE
HN
HS
a
a
a
2
3
3
Suy ra
21
21
d H SAM
HE
d SA BD
( , (
))
(
,
)
14
7