(1,0 ĐIỂM) 3 3 3 3 3 3 A B B C C A + + = A B + B C +...
Bài 5 (1,0 điểm)
3
3
3
3
3
3
a
b
b
c
c
a
+
+
= a
b + b
c + c
a = 0
Ta có:
2
2
2
2
2
2
a + ab + b
b + bc + c
c + ac + c
a
b
c
b
c
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
ab b
b
bc c
c
ac a
a
ab b
b
bc c
c
ac a
Vì thế bất đẳng thức đã cho tương đương với:
2 a + b + c
a + b
b + c
c + a
+
+
a + ab + b
b + bc + c
c + ac + a
3
2
2
a
ab + b
1
(đúng)
2
2 a
b
0
a
b
a
b
Vì
a + ab + b
3
3
3
a
b
1
a
b
(1) đẳng thức xảy ra khi a = b
hay
a
ab
b
3
c
a
1
b
c
1
b
c
Tương tự
c
a
c
ac
a
3
b
bc
c
3
(2) và
(3)
3
3
3
a
b
c
a + b + c
Cộng (1), (2), (3) suy ra
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Cách 2:
a + ab + b
b + bc + c
c + ac + a
3
(1)
Ta có: a + b + c = 2a – b + 2b – c + 2c – a
a
2a
b
b
2b
c
c
2c
a
BĐT (1)
+
0 (2)
a + ab + b
3
b + bc + c
3
c + ca + a
3
Xét:
3
2
2
3
3
3a
2a
b a + ab + b
a b
ab a
b
a
b
a
b
3
a
2a
b
a + ab + b
3
3 a + ab + b
3 a + ab + b
3 a + ab + b
0
2
2
2
2
2
2
2
2
c
2c
a
b
2b
c
;
c + ca + a
3
0
Tương tự:
b + bc + c
3
0
Vậy (2) đúng, đo đó (1) đúng. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
GV: Võ.M.Trình – THCS Cát Minh – Phù Cát – Bình Định