NẾU ∀ (X, Y) ∈ D, ∆(X, Y) < 0 THÌ PH−ƠNG TRÌNH (7.1.1) CÓ DẠNG E...

3. - BAI TAP CHO 16 UNIT 12 CO DAP AN 3. - BAI TAP CHO 16 UNIT 12 CO DAP AN
BAI TAP CHO 16 UNIT 12 CO DAP AN
3. Nếu ∀ (x, y) ∈ D, ∆(x, y) < 0 thì ph−ơng trình (7.1.1) có dạng ellipse • Giả sử ánh xạ ξ∂η−∂∂ ≠ 0 Φ : D → Ω, (x, y) → (ξ, η) với J(x, y) = (7.1.2) x ∂yxlà phép đổi biến từ miền D vào miền Ω. Theo công thức đạo hàm hàm hợp ∂ , + ∂+∂∂ = u∂u∂ =

2

2

2

2

 2 u

2

uu

2

2

Thay vào ph−ơng trình (7.1.1) nhận đ−ợc ∂

2

u∂ + 2b

1

(ξ, η)∂ = F

1

(ξ, η, u, ∂u, ∂u) a

1

(ξ, η)

2

u

2

+ c

1

(ξ, η)

2

u

2

Trong đó ∂ + c(x, y)

2

∂ + 2b(x, y) a

1

(ξ, η) = a(x, y)yxCh−ơng 7. Ph−ơng Trình Truyền Sóng ∂ + b(x, y) b

1

(ξ, η) = a(x, y)x + c(x, y) x ∂y∂ + 2b(x, y)∂ + c(x, y)c

1

(ξ, η) = a(x, y)Suy ra ∆

1

(ξ, η) = b - a

1

2

1

c

1

= ∆(x, y)J

2

(x, y) Tức là chúng ta có định lý sau đây. Định lý Phép đổi biến không suy biến không làm thay đổi dạng của ph−ơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2. • Nếu ξ và η là các nghiệm riêng độc lập của ph−ơng trình ∂ = 0 (7.1.3) ϕ a(x, y)thì a

1

(x, y) = b

1

(x, y) = c

1

(x, y) = 0. Khi đó ph−ơng trình (7.1.1) có dạng chính tắc = F

1

(ξ, η, u, ∂∂uξ, ∂∂u) Giả sử ϕ(x, y) là một nghiệm riêng không tầm th−ờng của ph−ơng trình (7.1.3). Chúng ta có (ϕ

x

, ϕ

y

) ≠ (0, 0) không giảm tổng quát có thể xem ϕ

y

≠ 0. Khi đó ph−ơng trình ϕ(x, y) = C xác định hàm ẩn y = y(x) có đạo hàm y’(x) = - ϕ

x

/ ϕ

y

. Thay vào ph−ơng trình (7.1.3) nhận đ−ợc ph−ơng trình vi phân a(x, y)y’

2

- 2b(x, y)y’ + c(x, y) = 0 với a(x, y) ≠ 0 (7.1.4) gọi là ph−ơng trình đặc tr−ng của ph−ơng trình (7.1.1)