TA CÓ BC² = AB² + AC² = BH² + AH² + AK² + CK²TA CẦN CHỨNG MINH B...

Câu 5.

Ta có BC² = AB² + AC² = BH² + AH² + AK² + CK²

Ta cần chứng minh bất đẳng thức:

(ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²) (*)

<=> a²d² – 2abcd + b²c² ≥ 0 <=> (ad – bc)² ≥ 0 (đúng với mọi a, b, c, d)Ta có: (*) <=>

a²c² + 2acbd + b²d² ≤ a²c² + a²d² + b²c² + b²d²

Dấu bằng xảy ra khi ad = bc hay a/c = b/d

Áp dụng (*) ta được: 2(BH² + AH²) ≥ (BH + AH)² (1)

Tương tự ta có 2(AK² + CH²) ≥ (AK + CK)² (2)

Suy ra 2BC² ≥ (BH + AH)² + (AK + CK)² (3)

Đặt BH + AH = m; đặt AK + CK = n

Vì góc CAK + góc BAH = 90°; mà góc BAH + góc ABH = 90° nên góc CAK = góc ABH

Dẫn đến tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAK

→ AH/CK = BH/AK = AB/AC = (AH + BH)/(CK + AK) = m/n

Nên AB²/m² = AC²/n² = (AB² + AC²)/(m² + n²) ≥ BC²/(2BC²) = 1/2

Hay m ≤ AB √2 và n ≤ AC√2

Chu vi tứ giác BHKC là BC + BH + AH + AK + KC = BC + m + n ≤ BC + (AB + AC)

√2

Vậy chu vi BHKC lớn nhất là BC + (AB + AC) √2.