DỰNG ĐƯỜNG CAO BH CỦA TAM GIÁC CAABC TA CÓ

2 .cos

2

AD b c

Giải:

B

a). Dựng đường cao

của tam giác

c

a

ta có:

Cách 1: Giả sử H thuộc cạnh AC .

A

H

C

Ta có: AC AH HC .

b

Áp dụng định lý

Pi ta go cho các tam giác vuông

,

AHB BHC ta có: AB

²

AH

²

HB BC

²

,

²

BH

²

HC

²

Trừ hai đẳng thức trên ta có:

2

2

2

2

.

c a HA HC HA HC HA HC b HA HC

2

2

c a

HA HC

b ta cũng có:

2

2

2

b c a

HA HC b AH

b . Xét tam giác vuông AHB ta có:

AH b c a

cos 2 cos

A a b c bc A

AB bc .

Cách 2: Xét tam giác vuông CHB ta có:

2

2

2

2

2

2

2

2

2 .

BC BH HC BH AC AH BH AH AC AC AH

Ta có: AH CB .cos A suy ra

2

2

2

2

2 . .cos

BC BH AH AC AC CB A hay

2

2

2

2 . .cos

BC BA AC AC CB A a

²

b

²

c

²

2 cos bc A

b). Để chứng minh bài toán ta cần kết quả sau:

+ sin2 2sin .cos

2 sin

S ab C

+ 1

*) Thật vậy xét tam giác vuông ABC A , 90

⁰

, gọi M là trung điểm của

BC , dựng đường cao AH . Đặt ACB AMB 2 .

C AC b

Ta có sin sin AH h

h

cos cos AC b

C BC a

H

M

C

2α

α

sin 2 sin 2

AH h h

AMH AM a a .

Từ đó ta suy ra: sin2 2sin .cos .

*) Xét tam giác ABC . Dựng đường cao BE ta có:

THCS.TOANMATH.com

1 1

. .

S

ABC

BE AC BE b (1)

2 2

Mặt khác trong tam giác vuông AEB

A BE c A

ta có: sin BE .sin

AB

thay vào (1)

Ta có: 1

Trở lại bài toán:

S AD AB A AD c A

Ta có ¹ . sin

₁

¹ . .sin

ABD

2 2 2

S AD AC A AD b A

. sin . .sin

2

ACD

Suy ra S

_ABC

S

_ACD

S

_ABD

1 sin

AD A c b . Mặt khác 1

S

ABC

bc A

bc A

2 cos

sin 2

A bc A

sin sin

AD c b bc A AD

c b

b c A

Chú ý rằng: Ta chứng minh được kết quả sau:

cos2 2 cos 1 1 2 sin .

Thật vậy xét tam giác vuông ABC A , 90

⁰

, gọi M là trung điểm của

C BC a

Ta có : cos cos AC b

sin sin AB c

C BC a ,

AM MB AB

M

C

cos2 cos

AMH AM MB