3X−2 = 3X⇔27X−3X+ 2 = 0⇔3X=−2(LOẠI) ⇔X= 0.3X=−2(LOẠI) ⇔X= 0.
3.3
x
−
2 = 3
x
⇔
27
x
−
3.3
x
+ 2 = 0
⇔
3
x
=
−2(loại)
⇔
x
= 0.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
x
= 0.
(
7
x−1
= 6u
−
5
(1)
d) Đặt
u
−
1 = log
7
(6x
−
5), phương trình trở thành
7
u−1
= 6x
−
5
(2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có:
7
x−1
−
7
u−1
= 6u
−
6x
⇔
7
x−1
+ 6x
= 7
u−1
+ 6u
(∗).
Xét hàm số
f
(t) = 7
t−1
+ 6t
trên
R
có
f
0
(t) = 7
t−1
ln 7 + 6
>
0,
∀t
∈
R
nên đồng biến trên
R
.
Do đó
(∗)
⇔
f(x) =
f(u)
⇔
x
=
u
⇒
7
x−1
= 6x
−
5
⇔
7
x−1
−
6x
+ 5 = 0.
Xét
g(x) = 7
x−1
−
6x
+ 5
có
g
0
(x) = 7
x−1
ln 7
−
6;
g
0
(x) = 0
⇔
x
= 1 + log
7
ln 7
6
.
Vì
g
0
(x)
có một nghiệm nên
g(x)
có tối đa hai nghiệm.
Nhận thấy
g(1) =
g(2) = 0, do đó phương trình có hai nghiệm
x
= 1
và
x
= 2.
Bài tập 5.30.
Giải các phương trình sau
a)
2
x
2
= 3
x
.
b)
2
x
2
−4
= 3
x−2
.
c)
5
x
.8
x−1
x
= 500.
d)
8
x+2
x
= 4.3
4−x
.
Lời giải.
x
= 0
a)
2
x
2
= 3
x
⇔
x
2
=
xlog
2
3
⇔
x
(x
−
log
2
3) = 0
⇔
x
= log
2
3
.
x
= 2
b)
2
x
2
−4
= 3
x−2
⇔
x
2
−
4 = (x
−
2) log
2
3
⇔
(x
−
2) (x
+ 2
−
log
2
3) = 0
⇔
x
=
−2 + log
2
3
.
x
= 3
c)
5
x
.8
x−1
x
= 500
⇔
5
x−3
.2
x−3
x
= 1
⇔
x
−
3 +
x−3
x
log
5
2 = 0
⇔
(x
−
3) (x
−
log
5
2) = 0
⇔
x
= log
5
2
.
x
= 4
d)
8
x+2
x
= 4.3
4−x
⇔
2
x−4
x+2
= 3
4−x
⇔
x−4
x+2
log
3
2 = 4
−
x
⇔
(x
−
4) (log
3
2 +
x
+ 2) = 0
⇔
x
=
−2
−
log
3
2
.
Bài tập 5.31.
Giải các phương trình sau
a)
3
x
2
= cos 2x.
b)
2
|x|
= sin
x.
c)
2
x−1
−
2
x
2
−x
= (x
−
1)
2
.
d)
2
2x+1
+ 2
3−2x
=
log
8
3
(4x
2
−4x+4)
.
3
x
2
= 1
3
x
2
≥
1
a) Ta có
cos 2x
≤
1
. Do đó phương trình tương đương với
cos 2x
= 1
⇔
x
= 0.
2
|x|
≥
1
2
|x|
= 1
b) Ta có
sin
x
≤
1
. Do đó phương trình tương đương với
sin
x
= 1
(vô nghiệm).
c) Ta có:
(x
−
1)
2
≥
0
⇒
x
2
−
x
≥
x
−
1
⇒
2
x
2
−x
≥
2
x−1
⇒
2
x−1
−
2
x
2
−x
≤
0.
2
x−1
−
2
x
2
−x
= 0
Do đó phương trình tương đương với
(x
−
1)
2
= 0
⇔
x
= 1.
d) Theo bất đẳng thức
AM
−
GM
ta có:
2
2x+1
+ 2
3−2x
≥
2
√
2
2x+1
.2
3−2x
= 8.
Lại có:
4x
2
−
4x
+ 4 = (2x
−
1)
2
+ 3
≥
3
⇒
log
3
(4x
4
−
4x
+ 4)
≥
1
⇒
log
8
3
(4x
4
−4x+4)
≤
8.
2
2x+1
+ 2
3−2x
= 8
8
log
3
(4x
4
−4x+4)
= 8
⇔
x
=
1
2
.
§5. Phương Trình & Bất Phương Trình LôgaritBài tập 5.32.
Giải các phương trình sau
a)
log
3
(x
−
2) = 2.
b)
log
3
(5x
+ 3) = log
3
(7x
+ 5).
c)
log
2
x
2
−
1
= log
1
2
(x
−
1).
d)
log
2
x
+ log
2
(x
−
2) = 3.
e)
log
2
x
2
+ 8
= log
2
x
+ log
2
6.
f)
log
3
(x
+ 2) + log
3
(x
−
2) = log
3
5.
g)
log
3
x
+ log
4
x
= log
5
x.
h)
log
2
x
+ log
3
x
+ log
4
x
= log
20
x.
a)
log
3
(x
−
2) = 2
⇔
x
−
2 = 9
⇔
x
= 11.
b) Điều kiện:
x >
−
3
5
. Khi đó
log
3
(5x
+ 3) = log
3
(7x
+ 5)
⇔
5x
+ 3 = 7x
+ 5
⇔
x
=
−1
(loại).
c) Điều kiện:
x >
1. Khi đó ta có phương trình tương đương:
x
= 0(loại)
√
5
log
2
x
2
−
1
x
=
1+
= 0
⇔
x
3
−
x
2
−
x
= 0
⇔
(x
−
1)
x
2
−
1
+ log
2
(x
−
1) = 0
⇔
log
2
2
x
=
1−
2
(loại)
√
5
Vậy phương trình có nghiệm
x
=
1+