52X−12.5X+ 4 ≤0⇔5X>25X>2
5.5
2x
−
12.5
x
+ 4
≤
0
⇔
5
x
>
2
Bài tập 5.25.
Giải các phương trình sau
a)
12 + 6
x
= 4.3
x
+ 3.2
x
.
b)
5
2x+1
+ 7
x+1
−
175
x
−
35 = 0.
c)
2
x
2
−5x+6
+ 2
1−x
2
= 2.2
6−5x
+ 1.
d) (D-06)
2
x
2
+x
−
4.2
x
2
−x
−
2
2x
+ 4 = 0.
e)
4
x
2
+x
+ 2
1−x
2
= 2
(x+1)
2
+ 1.
f)
x
2
.2
x−1
+ 2
|x−3|+6
=
x
2
.2
|x−3|+4
+ 2
x+1
.
Lời giải.
3
x
= 3
x
= 1
a) PT
⇔
4 (3
−
3
x
) + 2
x
(3
x
−
3) = 0
⇔
(3
x
−
3) (2
x
−
4) = 0
⇔
2
x
= 4
⇔
x
= 2
.
7
x
= 5
x
= log
7
5
b) PT
⇔
5
2x
(5
−
7
x
) + 7 (7
x
−
5) = 0
⇔
(7
x
−
5) 7
−
5
2x
= 0
⇔
5
2x
= 7
⇔
x
=
1
2
log
5
7
.
x
=
±1
.
x
= 2
1
−
2
1−x
2
2
x
2
−5x+6
−
1
c) PT
⇔
2
x
2
−5x+6
+ 2
1−x
2
−
1 = 0
⇔
1
−
2
1−x
2
x
= 3
2
x
2
−x
= 1
x
= 0
2
x
2
−x
−
1
= 0
⇔
2
2x
−
1
d) PT
⇔
2
2x
−
4
x
= 1
.
2
2x
= 1
⇔
"
x
=
±1
2
1−x
2
= 1
e) PT
⇔
4
x
2
+x
1
−
2
1−x
2
4
x
2
+x
−
1
x
= 0
.
4
x
2
+x
= 1
⇔
x
=
±2
f) PT
⇔
x
2
2
x−1
−
2
|x−3|+4
+ 4 2
|x−3|+4
−
2
x−1
= 0
⇔
2
x−1
−
2
|x−3|+4
x
2
−
4
x
= 4
.
Bài tập 5.26.
Giải các bất phương trình sau
a)
12 + 6
x
>
4.3
x
+ 3.2
x
.
b)
4
x
2
+x
+ 2
1−x
2
≥
2
(x+1)
2
+ 1.
√
x−2
−
4.5
x−5
<
5
1+3
√
x−2
.
c)
5
2x+1
+ 6
x+1
>
30 + 5
x
.30
x
.
d)
5
2x−10−3
3
x
−
3
>
0
x >
2
2
x
−
4
>
0
⇔
a) BPT
⇔
4 (3
−
3
x
) + 2
x
(3
x
−
3)
>
0
⇔
(3
x
−
3) (2
x
−
4)
>
0
⇔
3
x
−
3
<
0
x <
1
.
2
x
−
4
<
0
(
2
1−x
2
≤
1
x
≥
1
4
x
2
+x
≥
1
≥
0
⇔
b) BPT
⇔
4
x
2
+x
+2
1−x
2
−1
≥
0
⇔
(
x
≤
0
.
2
1−x
2
≥
1
4
x
2
+x
≤
1
6
x
<
5
5
2x
>
6
⇔
1
2
log
5
6
< x <
log
6
5.
>
0
⇔
c) BPT
⇔
5
2x
(5
−
6
x
) + 6 (6
x
−
5)
>
0
⇔
(5
−
6
x
) 5
2x
−
6
6
x
>
5
5
2x
<
6
d) Ta có bất phương trình tương đương
√
x−2
<
5
⇔
3
√
√
x−2
−
5
<
0
⇔
5
x−5−3
x−2
)
−
4.5
x−5−3
5
2
(
x−5−3
√
x
−
2
> x
−
6
x <
6
2
≤
x <
6
x
≥
2
x
≥
6
6
≤
x <
18
⇔
2
≤
x
≤
18
9x
−
18
>
(x
−
6)
2
Bài tập 5.27.
Giải các phương trình sau
a)
3
x
= 11
−
x.
b)
2
x
=
x
+ 1.
c)
3
x
+ 4
x
= 5
x
.
d)
1 + 8
x
2
= 3
x
.
√
3−x
=
−x
2
+ 8x
−
14.
e)
5
x
2
−2x+2
+ 4
x
2
−2x+3
+ 3
x
2
−2x+4
= 48.
f)
2
a) Ta có
y
= 3
x
là hàm số đồng biến trên
R
còn
y
= 11
−
x
là hàm số nghịch biến trên
R
.
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất
x
= 2.
b) Ta có phương trình tương đương
2
x
−
x
−
1 = 0.
Xét hàm số
f
(x) = 2
x
−
x
−
1
có
f
0
(x) = 2
x
ln 2
−
1;
f
0
(x) = 0
⇔
log
2
ln 2
1
.
Vì
f
0
(x)
có một nghiệm nên
f
(x)
có tối đa hai nghiệm.
Hơn nữa
f(0) =
f(1) = 0, do đó phương trình có hai nghiệm
x
= 1
và
x
= 0.
c) Ta có phương trình tương đương
3
5
x
+
4
5
x
= 1.
Lại có
y
=
3
5
x
+
4
5
x
là hàm số nghịch biến trên
R
còn
y
= 1
là hàm hằng.
x
2
√
2
d) Ta có phương trình tương đương
1
3
x
+
3
x
Lại có
y
=
1
3
x
e) Đặt
x
2
−
2x
+ 2 =
t, phương trình trở thành
5
t
+ 4.4
t
+ 9.3
t
= 48 (∗).
Ta có
y
= 5
t
+ 4.4
t
+ 9.3
t
là hàm số đồng biến trên
R
còn
y
= 1
là hàm hằng.
Do đó phương trình
(∗)
có nghiệm duy nhất
t
= 1. Với
t
= 1
⇒
x
2
−
2x
+ 2 = 1
⇔
x
= 1.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
x
= 1.
√
3−x
+ 14 = 0.
f) Ta có phương trình tương đương
x
2
−
8x
+ 2
√
3−x
+ 14
trên
(−∞; 3].
Xét hàm số
f
(x) =
x
2
−
8x
+ 2
√
3−x
ln 2
Ta có
f
0
(x) = 2x
−
8
−
2
3−x
<
0,
∀x <
3
nên
f
(x)
nghịch biến trên
(−∞; 3].
Lại có
y
= 0
là hàm hằng, do đó phương trình có nghiệm duy nhất
x
= 3.
Bài tập 5.28.
Giải các phương trình sau
a)
4
x
+ (2x
−
17)
.2
x
+
x
2
−
17x
+ 66 = 0.
b)
9
x
+ 2 (x
−
2)
.3
x
+ 2x
−
5 = 0.
c)
9
x
2
+
x
2
−
3
.3
x
2
−
2x
2
+ 2 = 0.
d)
3
2x
−
(2
x
+ 9)
.3
x
+ 9.2
x
= 0.
a) Đặt
2
x
=
t, t >
0, phương trình trở thành
t
2
+ (2x
−
17)
t
+
x
2
−
17x
+ 66 = 0 (∗).
t
= 11
−
x
= 25. Do đó phương trình
(∗)
có hai nghiệm
Ta có:
∆ = (2x
−
17)
2
−
4
x
2
−
17x
+ 66
t
= 6
−
x
.
Với
t
= 11
−
x
⇒
2
x
= 11
−
x
⇔
x
= 3; với
t
= 6
−
x
⇒
2
x
= 6
−
x
⇔
x
= 2.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
x
= 3
và
x
= 2.
b) Đặt
3
x
=
t, t >
0, phương trình trở thành
t
2
+ 2 (x
−
2)
t
+ 2x
−
5 = 0 (∗).
t
=
−1(loại)
Ta có:
∆
0
= (x
−
2)
2
−
(2x
−
5) = (x
−
3)
2
. Do đó phương trình
(∗)
có hai nghiệm
t
= 5
−
2x
.
Với
t
= 5
−
2x
⇒
3
x
= 5
−
2x
⇔
x
= 1. Vậy phương trình đã cho nghiệm duy nhất
x
= 1.
c) Đặt
3
x
2
=
t, t >
0, phương trình trở thành
t
2
+
x
2
−
3
t
−
2x
2
+ 2 = 0 (∗).
t
= 2
−
4
−2x
2
+ 2
= (x
2
+ 1)
2
. Do đó phương trình
(∗)
có hai nghiệm
Ta có:
∆ =
x
2
−
3
2
t
= 1
−
x
2
.
Với
t
= 2
⇒
3
x
2
= 2
⇔
x
=
±
p
log
3
2; với
t
= 1
−
x
2
⇒
3
x
2
= 1
−
x
2
⇔
x
= 0.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm
x
= 0
và
x
=
±
p
log
3
2.
d) Đặt
3
x
=
t, t >
0, phương trình trở thành
t
2
−
(2
x
+ 9)
t
+ 9.2
x
= 0 (∗).
t
= 9
Ta có:
∆ = (2
x
+ 9)
2
−
36.2
x
= (2
x
−
9)
2
. Do đó phương trình
(∗)
có hai nghiệm
t
= 2
x
.
Với
t
= 9
⇒
3
x
= 9
⇔
x
= 2; với
t
= 2
x
⇒
3
x
= 2
x
⇔
x
= 0.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
x
= 2
và
x
= 0.
Bài tập 5.29.
Giải các phương trình sau
2
x
+ 6 = 6.
b)
3
2x
+
√
3
x
+ 7 = 7.
a)
2
2x
−
√
c)
27
x
+ 2 = 3
√
3
3
x+1
−
2.
d)
7
x−1
= 6log
7
(6x
−
5) + 1.
(
2
2x
−
u
= 6
(1)
a) Đặt
u
=
√
2
x
+ 6, u >
0, phương trình đã cho trở thành
u
2
−
2
x
= 6
(2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có:
2
2x
−
u
2
−
u
+ 2
x
= 0
⇔
(2
x
−
u) (2
x
+
u
+ 1) = 0
⇔
u
= 2
x
.
2
x
= 3
Với
u
= 2
x
⇒
√
2
x
+ 6 = 2
x
⇔
4
x
−
2
x
−
6 = 0
⇔
2
x
=
−2(loại)
⇔
x
= log
2
3.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
x
= log
2
3.
(
3
2x
+
u
= 7
(1)
b) Đặt
u
=
√
3
x
+ 7, u >
0, phương trình đã cho trở thành
u
2
−
3
x
= 7
(2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có:
3
2x
−
u
2
+
u
+ 2
x
= 0
⇔
(3
x
+
u) (3
x
−
u
+ 1) = 0
⇔
u
= 3
x
+ 1.
3
x
= 2
Với
u
= 3
x
+ 1
⇒
√
3
x
+ 7 = 3
x
+ 1
⇔
9
x
+ 3
x
−
6 = 0
⇔
3
x
=
−3(loại)
⇔
x
= log
3
2.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
x
= log
3
2.
(
3
3x
+ 2 = 3u
(1)
c) Đặt
u
=
√
3