XÉT CÁC SỐ NGUYÊN DƯƠNG A B , SAO CHO PHƯƠNG TRÌNH A LN 2 X B X  LN ...

Câu 46 : Xét các số nguyên dương a b , sao cho phương trình a ln ² x b x  ln   5 0 có hai nghiệm

phân biệt x x ₁ , ₂ và phương trình 5log ² x b  log x a   0 có hai nghiệm phân biệt x x ₃ , ₄ thỏa mãn

x x  x x Tìm giá trị nhỏ nhất S _min của S  2 a  3 . b

1 2 3 4 .

A. S _min  30. B. S _min  25.

C. S _min  33. D. S _min  17.

Giải

Điều kiện để cả hai phương trình có hai nghiệm phân biệt là : x  0 và b ²  20 a  0, a  ^* , b  ^* .

Xét phương trình a ln ² x b x  ln   5 0 . Đặt t  ln x , phương trình trở thành : at ²    bt 5 0 , giả

sử t ₁  ln , x t _{1 2}  ln x ₂ là nghiệm của phương trình. Theo định lý Vi – et, ta có :

 

        

t t x x x x x x e

1 2 ln 1 ln 2 ln 1 2 b 1 2 ^{b a} 1

a

Xét phương trình 5log ² x b  log x a   0 . Đặt u  log x , phương trình trở thành :

5 u 2  bu a   0 , giả sử u ₁  log , x u _{3 2}  log x ₄ là nghiệm của phương trình. Theo định lý Vi – et, ta

b b

u u   x  x  x x    x x  ^

có : 1 2 log 3 log 4 log 3 4 3 4 10 ⁵   2

5

Theo giả thiết :

b b b

1 ln10 5

  

x x x x e a

10 ln10 ln10 2,171

            

a b b b

5 5

5 5 ln10

1 2 3 4

a a a

Vì a  ^* nên a  3 và b ²  20 a  0, b  ^* , a    3 b 8.

Ta có S  2 a  3 b  2.3 3.8 30.   Suy ra S _min  30   a 3; b  8.

Vậy : S _min  30.

Đáp án : A