(QG17,104,C46). XÉT CÁC SỐ NGUYÊN DƯƠNG A, B SAO CHO PHƯƠNG TRÌ...
Bài 37 (QG17,104,c46). Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình
a ln
2x + b ln x + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1, x
2và phương trình 5 log
2x + b log x + a = 0
có hai nghiệm phân biệt x
3, x
4thỏa mãn x
1x
2> x
3x
4. Tìm giá trị nhỏ nhất S
mincủa S = 2a + 3b.
A. S
min= 30 . B. S
min= 25 . C. S
min= 33 . D. S
min= 17 .
Hướng dẫn giải
Vì a, b nguyên dương nên S = 2a + 3b nhỏ nhất ⇔ a nhỏ nhất và b nhỏ nhất.
Theo giả thiết,
• Phương trình a ln
2x + b ln x +5 = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt x
1, x
2tức là at
2+ bt +5 = 0
( 1
0) có hai nghiệm phân biệt t
1= ln x
1, t
2= ln x
2. Suy ra ta có x
1= e
t1
, x
2= e
t2
.
• Tương tự, 5 log
2x + b log x + a = 0 ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt x
3, x
4tức 5t
2+ bt + a = 0
(2
0) có hai nghiệm phân biệt t
3= log x
3, t
4= log x
4. Suy ra x
3= 10
t3
, x
4= 10
t4
.
Vậy điều kiện x
1· x
2> x
3· x
4tương đương với
e
t1
· e
t1
> 10
t3
· 10
t4
⇔ e
t1
+t2
> 10
t3
+t4
Theo định lý Viète, ta có t
1+ t
2= − b
a (xét ( 1
0) ), và t
3+ t
4= − b
5 (xét ( 2
0) tương ứng), điều này
dẫn đến
⇔ e
−b
a
> 10
−5
b
⇔ − b
10
−b
5
a > ln
5 ln 10
a > − b
b>0⇔ − 1
5
a > − ln 10
⇔ 1
a < ln 10
a>0⇔ a > 5
ln 10 ≈ 2, 17147241.
Do a ∈ N nên a > 2, 17147241 kéo theo a
min= 3. Để kết thúc lời giải, ta cần tìm mối liên hệ
còn lại giữa a và b.
Thật vậy, vì ( 1
0) và ( 2
0) đều có 2 nghiệm phân biệt nên
∆
(10
)> 0
20a.
∆
(20
)