CHO HÀM SỐ F X   LIÊN TỤC TRÊN  0; , THỎA MÃN...

Câu 114. Cho hàm số f x   liên tục trên  0;



 , thỏa mãn    

d cos d 1.

0

0



 

 ^bằng

2

d

f x x

0



. D. 3

2 .



. B. 3

A. 2



. C. 4

Lời giải. Theo Holder









   

       

2

2

2

2

   1 cos d cos d . d . d .xf x x x x f x x 2 f x x





  

0

0

0

0

d 2 .

 (Đến đây bạn đọc cĩ thể chọn A)

Suy ra

²

 





  ^{ta được}

d 1

f x x

Dấu ''  '' xảy ra khi ^{f x}    ^{k cos x} thay vào  







     

1 f x d x k cos d x x k .sin x 0.

0

0

0

Điều này hồn tồn vơ lý.

 

  

 

cos d

a a xf x x

 





   



a b

   

0 .

d cos d 1

f x x xf x x

Lời giải đúng. Ta cĩ    

với ,

₂

₂

  

a b





 

b bf x x

Theo Holder

 

 

         

2

2

2

      

cos d cos d d .

a b a x b f x x a x b x f x x

    

Lại cĩ

cos d 1 2 .

 

²



²

²





  

a x b x 2 a b

 

d 2

Từ đĩ suy ra    

  ^{với mọi a b , }

^

^{và a}

²

^{ b}

²

^{ 0.}

2

2

2

 

  

 

2 3

 ^{Chọn B.}

            

Do đĩ

2

   

²

d .max .

 

Nhận xét:  Ta nhân thêm a b , vào giả thiết được gọi là phương pháp biến thiên hằng số.

 a b Cách tìm giá trị lớn nhất của

 

²

P a b

ta làm như sau:

2

Nếu b   0   P 1. (chính là đáp án sai mà mình đã làm ở trên)

a a

   

2 1

  

t

a

 



    

a b b b t t

b

     

Tới đây ta khảo sát hàm số hoặc dùng MODE 7 dị tìm. Kết quả

Nếu  

b P

0 .

          

a b a t

2 2

b

thu được GTLN của P bằng 3

t a b

2 khi

2 a 2 2 .    b

  

  

Vậy dấu ''  '' để bài tốn xảy ra khi

   

2 cos 1

f x b x

 thay ngược lại điều kiện, ta được

       

1 2 cos 1

b x x b f x

2 cos 1 d 1 x .

   

       

 

f x x x

Lúc này

²

  d ^{2 cos} x ¹ d ³ .

Cách khác. Đưa về bình phương

Hàm dưới dấu tích phân là f

²

    x , f x , cos xf x   nên ta liến kết với   f x   



cos x 



 

²

.

Với mỗi số thực

 ,

ta cĩ

        

 

²

²

       

²

   

     

cos d 2 cos d cos d

f x x f x x x f x x x x

 





     

   

²

   

²

²

f x x 2

 

 







đạt giá trị nhỏ nhất. Ta cĩ

Ta cần tìm

 ,

sao cho 2  

²

²

                       

2

2

2 1 3 32 .   2 2

    thì ta cĩ

Vậy với 2 1



;



2 1 3

     

f x x f x x

cos d .

  

 

2 1 3 3

  ^{Dấu ''  ''} xảy ra khi   ^{2 cos} x ¹ .

    

f x



f x x f x x

d cos .

Suy ra    

  Giá trị nhỏ nhất của tích phân

 

sin xf x d x cos xf x d x 1.