N =(X−Y)(X−2Y)(X−3Y)(X−4Y)+Y4 LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 5. (0,5 điểm): Cho x y, Z . Chứng minh rằng: ^{N =}

(

^x−y

)(

^x−2y

)(

^x−3y

)(

^x−4y

)

^+y

⁴

là số chính phương. Lời giải Ta có:

( )(

²

)(

³

)(

⁴

)

⁴

N = x−y x− y x− y x− y +y

⁼

(

^x−y

)(

^x−4y

)(

^x−2y

)(

^x−3y

)

^+y

⁴

⁼

(

^x

²

^−5xy+4y

²

)(

^x

²

^−5xy+6y

²

)

^+y

⁴

Đặt x

²

−5xy+4y

²

=t. Khi đó

(

²

²

)

⁴

²

²

²

⁴

(

²

²

)

²

N =t t+ y +y = +t ty +y = +t yThay t=x

²

−5xy+4y

²

vào biểu thức ta được:

(

²

^{5 4}

²

²

) (

²

²

^{5 5}

²

)

²

N = x − xy+ y +y = x − xy+ yVậy N là số chính phương với mọi x y, Z .