CHO X Y LÀ CÁC S , Ố THỰC DƯƠNG THỎA MÃN XY + + = X Y 3 ....

Câu 10 Cho x y là các s , ố thực dương thỏa mãn xy + + = x y 3 . Tìm giá tr ị lớn nhất

c ủa biểu thức

(

)

3 3

x y xy

= + + − +

P x y

+ + +

1 1

y x x y

Đặ t ^{t = + ⇒ x y xy = − 3 t x ;}

^{+ y}

⁼ ( ^{x + y} )

^{− 2 xy = − t}

^{2 3} ( ^{− = + − t} ) ^t

^{2 t 6}

x y

1

Ta có

3 2

xy ≤   +   ⇒ − ≤ t t ⇔ ≥ t

 

2 4

x y x y xy

= + − + = − + + +

P x y t t

Suy ra ³ (

) ^{3 ( )} (

) ^{1 (}

^{12 ) 1}

+ + + +

xy x y x y t

1 4 2

Xét hàm số ( ) ^{1 (}

^{12 ) 1}

f t t t

4 2

= − + + t + với t ≥ 2

Ta có ^' ( ) ^{1 ( 2 1 12}

^{) 0, 2}

f t 4 t t

= − + − t < ∀ ≥ . Suy ra hàm s ố ^{f t} ( ) ^ngh ị ch bi ế n v ớ i

2

t ≥

( ) ( ) ^{2 3}

⇒ = ≤ =

P f t f 2

t = 2 khi x = = y 1

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3

2 khi x = = y 1 .

---