CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 CHO HAI SỐ THỰC X, Y THAY ĐỔI VÀ THỎA M...
Bài 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008
Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn x
2
+ y
2
= 2.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = 2(x
3
+ y
3
) – 3xy.
Giải
Ta có: P = 2(x
3
+ y
3
) – 3xy =
2 x y x
2
y
2
xy
3xy
= 2(x + y)(2 – xy) – 3xy.
Ta lại có: x
2
+ y
2
= 2 (x + y)
2
– 2xy = 2
xy
(x y)
2
2
.
2
Do đó P =
2 x y 2
(x y)
2
2
3
(x y)
2
2
.
2
2
Đặt t = x + y. Khi đó t
2
= (x + y)
2
2(x
2
+ y
2
) = 4 nên | t | 2
và P =
2t 2
t
2
2
3
t
2
2
2
với | t | 2.
=
t
3
3
t
2
6t 3
Xét
g(t)
t
3
3
t
2
6t 3
2
trên đoạn [2; 2]
g'(t) = 3t
2
– 3t + 6
t 1
2; 2
g'(t) = 0 t
2
+ t – 2 = 0
t
2
2; 2
g(2) = 7; g(2) = 1;
g(1)
13
2
Vậy
P
max
13
khi x
1
3
và y
1
3
hoặc x
1
3
và y
1
3
2
2
2
2
2
P
min
= 7 khi x = y = 1.