VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ SAU 22 3 1X X KHI XY X X KHI XA) Y X2 2 X 3...
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho phương trình x
2
2 m 3 x m
2
3 0 , m là tham số.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x
1
,
2
và P 5( x
1
x
2
) 2 x x
1 2
giá trị lớn nhất.
Lời giải
Ta có ' m 3
2
m
2
3 6 m 12
Phương trình có nghiệm ' 0 6 m 12 0 m 2
2 3
x x m
Theo định lý Viét ta có
1
2
2
3
x x m
1 2
2
2
10 3 2 3 2 10 24
P m m m m
Xét hàm số y 2 x
2
10 x 24 với x 2;
Bảng biến thiên
x 5
2 2
12
2
2
10 24
y x x
max y khi và chỉ khi x 2
Suy ra
2;
12
Vậy m 2 là giá trị cần tìm. y
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y
3
x
4
2 x
2
1 3
3
x
2
1 1
Đặt t
3
x
2
1, t 1 t
2
3
x
4
2 x
2
1
Khi đó hàm số trở thành y t
2
3 t 1 với t 1 .
x
1 3
2
1
2
3 1
y t t
5
4
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số y
3
x
4
2 x
2
1 3
3
x
2
1 1 là 5
4 khi và chỉ khi 3
t 2 hay
3
2
3 19
1 2 8
x x
Ví dụ 3:Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y x
4
4 x
2
1 trên 1;2 .
Đặt t x
2
. Với x 1;2 ta có t 0;4
Hàm số trở thành f t t
2
4 t 1 với t 0;4
t 0 2 4
1 1
1
t
x
max y max f t khi 0
4
t hay 0
2
x
1;2
0;4
1
min y min f t 1 khi t 2 hay x 2 .
1;2
1;2
Ví dụ 4: Cho các số thực a b , thoả mãn ab 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a b a b
P b a b a .
2
2
1
Đặt t a b
t b a b a b a ,
b a . Ta có a b a b 2 a . b 2
2
2
2
2
t t
2
2
2
2
2
2
b a b a
Ta có P t
2
2 t 1 t
2
t 1
Xét hàm số f t ( ) t
2
t 1 với t ; 2 2; .
t 2 1 2
( )
2
1
f t t t
5 1
min P min f t ( ) 1 khi t 2 hay 2 a b
a b
b a .
; 2
2;
Ví dụ 5: Cho các số x y , thoả mãn: x
2
y
2
1 xy .
Chứng minh rằng 1
4
4
2 2
3
9 x y x y 2 .
Đặt P x
4
y
4
x y
2 2
Ta có P ( x
2
y
2 2
) 3 x y
2 2
1 xy
2
3 x y
2 2
2 x y
2 2
2 xy 1
Đặt t xy , khi đó P 2 t
2
2 t 1
+
x y xy
−
xy xy
+ −
Vì
1 2 3 1
xy xy xy
x y xy nên 1 2 1
Do đó 1 1
3 t .
Xét hàm số f t ( ) 2 t
2
2 t 1 trên 1 ;1
b
Ta có 1
2 2
− a = , ta có bảng biến thiên
t 1
3 1
2 1
3
2
( ) 2
2
2 1
1
9 1
1 3
Từ bảng biến thiên ta có
min ( ) max ( )
f t P f t
9 2
1
;12
1
;1
3
3