CHO PH-ƠNG TRÌNH BẬC HAI ẨN X, THAM SỐ M
Bài 4. Cho ph-ơng trình bậc hai ẩn x, tham số m : x
2
+ mx + + = m 3 0 (1)
a/ Giải ph-ơng trình với m = - 2.
b/ Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của ph-ơng trình. Tính x
1
2
+ x ; x
2
2
1
3
+ x
3
2
theo m.
c/ Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn : x
1
2
+ x
2
2
= 9 .
d/ Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 5.
e/ Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm x
1
= - 3. Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của ph-ơng trình không phụ thuộc vào giá trị của m.
HƯỚNG DẪN
a/ Thay m = - 2 vào ph-ơng trình (1) ta có ph-ơng trình :
− + =
2
x 2x 1 0
− =
(x 1) 0
x 1 0
=
x 1
Vậy với m = - 2 ph-ơng trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b/ Ph-ơng trình : x
2
+ mx + + = m 3 0 (1) Ta cú: = m
2
− 4(m 3) + = m
2
− 4m 12 −
Ph-ơng trình có nghiệm x ; x
1
2
0
+ = −
= +
x x m (a)
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :
1
2
x x m 3 (b)
1
2
*) x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x )
2
2
− 2x x
1
2
= − ( m)
2
− 2(m 3) + = m
2
− 2m 6 −
*) x
3
1
+ x
3
2
= (x
1
+ x )
2
3
− 3x x (x
1
2
1
+ x )
2
= − ( m)
3
− 3(m 3)( m) + − = − m
3
+ 3m
2
+ 9m
c/ Theo phần b : Ph-ơng trình có nghiệm x ; x
1
2
0
Khi đó x
1
2
+ x
2
2
= m
2
− 2m − 6
Do đó x
1
2
+ x
2
2
= 9 m
2
− 2m 6 − = 9 m
2
− 2m 15 − = 0
= − − − = + = =
' ( 1) 1.( 15) 1 15 16 0; 4
(m)
(m)
+ −
= = = = −
m 5; m 3
=> ph-ơng trình có hai nghiệm :
1
1 4
2
1 4
1 1
Thử lại : +) Với m 5 = = − 7 0 => loại.
+) Với m = − = 3 9 0 => thỏa mãn.
Vậy với m = - 3 thì ph-ơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn : x
1
2
+ x
2
2
= 9 .
d/ Theo phần b : Ph-ơng trình có nghiệm x ; x
1
2
0
Hệ thức : 2x
1
+ 3x
2
= 5 (c)
Từ (a) và (c) ta có hệ ph-ơng trình :
+ = − + = − = − − = − −
x x m 3x 3x 3m x 3m 5 x 3m 5
1
2
1
2
1
1
+ = + = = − − = +
2x 3x 5 2x 3x 5 x m x x 2m 5
1
2
1
2
2
1
2
= − −
x 3m 5
Thay
1
vào (b) ta có ph-ơng trình :
x 2m 5
− − + = +
( 3m 5)(2m 5) m 3
− − − − = +
6m 15m 10m 25 m 3
− − − =
6m 26m 28 0
+ + =
3m 13m 14 0
= − =
13 4.3.14 1 0
( m )
= − + = −
m 13 1 2
1
2.3
=> ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt :
= − − = −
13 1 7
m 2.3 3
Thử lại : +) Với m = − = 2 0 => thỏa mãn.
= − = => thỏa mãn.
m 0
+) Với 7 25
3 9
m 2; m
Vậy với 7
= − = − 3 ph-ơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 5.
e/ Ph-ơng trình (1) có nghiệm x
1
= − − 3 ( 3)
2
+ m.( 3) m 3 − + + = − 0 2m 12 + = = 0 m 6
Khi đó : x
1
+ x
2
= − m x
2
= − − m x
1
x
2
= − − − 6 ( 3) x
2
= − 3
Vậy với m = 6 thì ph-ơng trình có nghiệm x
1
= x
2
= - 3.
f/ Ph-ơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu ac 0 1.(m 3) + + 0 m 3 0 m − 3
Vậy với m < - 3 thì ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử ph-ơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :
+ = − = − −
x x m m x x
− − = −
1
2
1
2
= + = −
x x x x 3
x x m 3 m x x 3
Vậy hệ thức liờn hệ giữa x
1
; x
2
khụng phụ thuộc vào m là: x
1
.x
2
+ (x
1
+ x
2