J N K K N N K J K J KLẤY TỔNG CỦA HAI BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN, TA ĐƯỢC...
2
.
j
n
k
k
n
n k
j k
j k
Lấy tổng của hai bất đẳng thức trên, ta được
k
n
k
n
k
k
n
n
k
1
1
1
1
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
2
2
2
2
.
k
j
j
k
k
n
k
n
j
j k
1
Vì vậy, ta có1
1
2
a
ka
n
k a
n
1
n
n
Từ
1 & 2 ,
vớik
2,3,...,
n
1,
ta được
a
k
a
n k a
ka
n
k a
n
a
a
1
1
1
max
1
;
1
max
;
k
n
n
n
n
n
n
n
Tóm lại :f n
bé nhất bằng1
.
■ Thí dụ 7 (USA MO 1993) Choa a a
0
, ,
1
2
,...
là dãy lõm lôgarit. Chứng minh rằng
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
0
1
...
1
2
...
1
0
1
...
1
1
2
...
n
n
n
n
.
.
,
1
n
n
n
n
n
1
1
Lời giảik
a
a
k
Bổ đề 1 :1
0
,
a
Chứng minh : Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp. Vớik
1
thì hiển nhiên đúng2
a
a a
Giả sử bất đẳng thức đúng đếnk
j
,
ta chứng minh bất đẳng thức cũng1
0
2
.
đúng đếnk
j
1.
2
1
j
j
j
1
2
a
a
a
Thật vậy
j
j
j
j
j
j
2
2
1
.
a
a
a
a
a
a
a
0
1
1
0
1
2
0
1
0
Bổ đề 2 :1
2
3
...
1
0
2
1
,
2
a a a
a
a a
n
n
n
Chứng minh : Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp. Vớin
2
thìa
1
2
a a
0
2
a
1
a a
0
2
1
2
.
Giả sử khẳng định đúng đếnn
m
.
Ta chứng minh khẳng định đúng đếnn
m
1.
Thật vậy
m
m
m
2
1
2
1
2
1
a a a
a
a a
a a a
a
a
a
a
1 2 3
...
1
0
1 2 3
...
1
0
1
m
m
m
m
m
Theo bổ đề 1 ta có1
2
1
2
2
a
a
a a
0
1
m
m
m
a
a
0
0
1
1
2
2
Lấy
1
và
2
nhân vế theo vế, ta được
1 1
2
2
2
a a a
a
a a
a a
1 2 3
...
0
1
0
1
.
Quay trở lại bài toán : Ta viết kết quả bổ đề 2 như sau2
2
1
2
2
2
...
...
...
a a a
a
a a
a a a
a
a a
a a
a a
a
a a
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
1 2
3
1
0
1 2
3
1
0
0
1 2
1
0
1
2
2
2
2
1
n
n
n
n
n
n
...
a
a a a
a a
a a
0
1
2
3
1
0
Theo bất đẳng thức AM – GM, suy ra
a
a
a
a
a
a
...
...
0
1
1
2
1
n
a a
2
0
a
a
a
a
a
a
a a
a
a
a
0
1
1
1
2
1
0
1
1
2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
0
1
1
1
2
1
0
1
1
1
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
2
2
2
2
2
0
1
1
1
0
1
1
1
a
a
a
a
a
a
a
a
1
1
...
0
1
1
2
1
0