TÍNH CHẤT ĐỊNH LÝ 1. CHO DÃY SỐ LỒI AN , KHI ĐÓ VỚI MỌI N...
2. TÍNH CHẤT Định lý 1. Cho dãy số lồi
a
n
,
khi đó với mọin
l
k
1
thìa
n l
a
n l
a
n k
a
n k
.
Chứng minh: Đặt
a
i
a
i
1
a i
i
,
1,
suy ra
a
i
1
a
i
,
i
1.
Ta có
1
1
n l
n
k
;
a
a
a a
a
a
n l
n k
i
n k
n l
i
i n k
i n l
Do đóa
n l
a
n l
a
n k
a
n k
.
Vì
a
i
1
a
i
,
i
1,
nên suy ra.
a
a
i
i
Định lý 2. Với mọi dãy số lồi
a
n
,
thìmax
a a
1
,
2
,...,
a
n
max
a a
1
,
n
.
Chứng minh. - Nếu với mọik
1,
ta cóa
k
a
k
1
,
khi đómax
a a
1
,
2
,...,
a
n
a
1
max
a a
1
;
n
.
- Nếu tồn tạik
nhỏ nhất,k
1
thoả mãna
k
a
k
1
,
ta có:a
a
a
a
a
a
a
a
a
Mặt khác ta cóa
1
a
2
...
a
k
.
2
2
1
1
2
1
2
...
.
k
k
k
k
k
k
k
k
n
Như vậy, ta suy ramax
a a
1
,
2
,...,
a
n
max
a a
1
;
n
.
Trong cả 2 trường hợp, ta có điều phải chứng minh. Định lý 3. Cho
a
n
1
lồi và bị chặn. Khi đó a)a
1
a
2
;
b)
a
n
1
hội tụ đến một giới hạn hữu hạna
; Chứng minh a) Đặt
a
1
a
2
a
1
t
.
Giả sửt
0.
Từ giả thiết ta cóa
a
a
a
a
a
a
a
t
suy raa
n
1
a
n
t
a
n
1
2
t
...
a
1
nt
.
1
1
1
2
...
2
1
,
n
n
n
n
n
n
Dot
0
nên chon
,
thìa
n
1
,
mâu thuẫn với tính bị chặn của
a
n
1
. Vậy0
t
haya
1
a
2
.
b) Theo trên dễ suy ra
a
n
1
giảm. Lại vì
a
n
1
bị chặn nên nó có giới hạn hữu hạn.