. ■ A A KK K1 2 KTHÍ DỤ 5 (IMO LL 1978) TÌM MỘT SỐ C0 SAO C...
2
,
.
■a
a
k
k
k
1
2
k
Thí dụ 5 (IMO LL 1978) Tìm một sốc
0
sao cho với mọi dãy lõm dương
a
k
n
k
1
ta đều có2
n
n
1
a
c n
a
0
0
Lời giải Bất đẳng thức trong đề bài tương đương với
2
2
a
a a
c n
a
2
1
k
i
j
k
k
i j n
k
0
1
0
Trong2
i
j
a a
chứa các số có dạngi j n
a
a
2
1
2
1
2
i j
i j
,
1.
a a
a
a
a
i
j
i
i j
i j
i j
i j
2
2
2
Với mọii
,
ta xét có bao nhiêu cặp dạng trêni
n
Có các cặp
a
i
1
,
a
i
1
,
a
i
2
,
a
i
2
,...,
a a
0
,
2
i
.
Suy ra +)1
.
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
...
...
...
a
a a
a
a a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
1
0
2
1
1
0
2
0
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
n
n
i
n
+)1
1.
Có các cặp
a a
n
,
2
i n
,
a
n
1
,
a
2
i n
1
,...,
a
i
1
,
a
i
1
.
Suy ra1
1
2
2
2
2
a
a a
a
a a
a
a
a
a
...
...
1
1
2
2
i
i
i
i
i
n
i n
i
i n
n
Vậy
n
n
n
n
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a
k
k
i
i n
n
0
1
2
0
0
1
2
2
1
k
k
i
i
Nếun
chẵn thì ta có
n
n
n
n
n
1
1
1
1
1
2
VP
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
.
k
i
i n
n
k
k
k
0
1
2
2
2
2
2
2
2 2
4
k
i
i
n
k
k
k
0
1
1
0
0
0
Nếun
lẻ thì ta có
1
1
1
1
1
1
1
VP
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
2
2
2
2
2
4
Do đó, ta có thể chọn1
.
c
4
■ Thí dụ 6 (China 2009) Cho dãy số lồi
a
k
1
n
n
3
sao cho
Tìm biểu thức0.
a
f n
bé nhất sao cho với mọik
1, 2,...,
n
,
ta cóa
k
f n
max
a
1
;
a
n
.
Trước hết, định nghĩa dãy
a
k
như sau :
n
n k
a
a
n