2000 - ĐA GIÁC (DÀNH CHO HỌC SINH THPT)TA SẼ CHỨNG MINH KHẲNG Đ...

Bài 19/2000 - Đa giác

(Dành cho học sinh THPT)

Ta sẽ chứng minh khẳng định sau cho n 3: 

Các số thực dương a

1

, a

2

, a

3

,..., an lập thành các cạnh liên tiếp của một đa giác n cạnh khi và chỉ khi với

mọi k=1, 2,..., n ta có các bất đẳng thức sau:

a

1

+ a

2

+... (thiếu k)... + an > ak (1)

(tổng của n-1 cạnh bất kỳ phải lớn hơn độ dài cạnh còn lại)

Chứng minh

Chứng minh được tiến hành qui nạp theo n. Với n = 3 thì (1) chính là bất đẳng thức tam giác quen thuộc.

Giả sử (1) đúng đến n. Xét (1) cho trường hợp n+1.

Trước tiên ta có nhận xét sau: Các số a

1

, a

2

,..., an, an

+1

lập thành một đa giác n +1 cạnh khi và chỉ khi tồn tại

một số g sao cho a

1

, a

2

, a

3

,..., an

-1

, g tạo thành một đa giác n cạnh và g, an, an

+1

tạo thành một tam giác.

Giả sử a

1

, a

2

, a

3

,..., an, an

+1

lập thành một đa giác n +1 cạnh. Khi đó theo nhận xét trên thì tồn tại đa giác n

cạnh a

1

, a

2

, a

3

,..., an

-1

, g và tam giác g, an, an

+1

. Do đó ta có các bất đẳng thức sau suy từ giả thiết qui nạp và

bất đẳng thức tam giác:

a

1

+ a

2

+ a

3

+.... + an

-1

> g (2)

an + an

+1

> g > |an - an

+1

| (3)

Do vậy ta có

a

1

+ a

2

+ a

3

+.... + an

-1

> |an - an

+1

| (4)

từ (4) suy ra ngay các khẳng định sau:

a

1

+ a

2

+ a

3

+.... + an

-1

+ an > an

+1

(5)

a

1

+ a

2

+ a

3

+.... + an

-1

+ an

+1

> an (6)

Mặt khác từ giả thiết qui nạp cho đa giác n cạnh a

1

, a

2

, a

3

,..., an

-1

, g, tương tự như (2) ta có các bất đẳng thức

sau với k < n:

a

1

+ a

2

+... (thiếu k)... + an

-1

+ g > ak

thay thế vế trái của (3) ta phải có với k <N:< p>

a

1

+ a

2

+... (thiếu k)... + an

-1

+ an + an

+1

> ak (7)

Các bất đẳng thức (5), (6) và (7) chính là (1). Điều kiện cần được chứng minh.

Giả sử ngược lại, hệ bất đẳng thức (1) thoả mãn, ta có

a

1

+ a

2

+... + an

-1

+ an > an

+1

(8)

a

1

+ a

2

+... + an

-1

+ an

+1

> an (9)

và với mọi k < n ta có:

a

1

+ a

2

+...(thiếu k)... + an

-1

+ an + an

+1

> ak (10)

Từ (8) và (9) ta có ngay:

a

1

+ a

2

+... + an

-1

> |an - an

+1

| (11)

Từ (10) suy ra với mọi k < n ta có:

an + an

+1

> ak - a

1

- a

2

-...(thiếu k)... - ak (12)

Từ các bất đẳng thức (11) và (12) suy ra tồn tại một số dương g thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

an + an

+1

> g > |an - an

+1

| (13)

a

1

+ a

2

+... + an

-1

> g (14)

g > ak - a

1

- a

2

-...(thiếu k)... - ak (15)

Các bất đẳng thức (13), (14) và (15) chính là điều kiện để tồn tại đa giác n cạnh a

1

, a

2

, a

3

,..., an

-1

, g và tam

giác g, an, an

+1

. Điều kiện đủ đã được chứng minh.

Chương trình:

Program Dagiac;

Uses Crt;

Const fn = 'P6.INP';

Var i,j,N: integer;

a: array[1..100] of real;

s: real;

Kq: boolean;

{---}

Procedure Nhap;

Var f: text;

Begin

Assign(f,fn); Reset(f);

Readln(f,N);

For i:=1 to N do Read(f,a[i]);

Close(f);

End;

BEGIN

Nhap;

Kq:=true;

For i:=1 to N do

begin

s:=0;

For j:=1 to N do If j<>i then s:=s+a[j];

If s<=a[i] then Kq:=false;

end;

If Kq then Write('Co.') Else Write('Khong.');

Readln;

END.