BÀI 18. CHO X Y Z, , ∈[0,1] THOẢ MÃN ÑIỀU KIỆN

2. Tìm MinS hay tìm Max

(

x

²

+y

²

+z

²

)

Cách 1: Phương pháp tam thức bậc hai: Không mất tính tổng quát giả sử

{

, ,

}

¹;1z=Max x y z ⇒z∈2 . Biến ñổi và ñánh giá ñưa về tam thức bậc hai biến z

( )

²

( )

²

^{( )}

2

2

2

2

2

2

3 2

2

3 9x + y +z =z + x+ y − xy≥z + −z = z − z+ = f z2 4Do ñồ thị hàm y = f(z) là một parabol quay bề lõm lên trên nên ta có: ( )

{ ( )

^{1 ( )}

} ( )

^{1 ( ) 5}Max Max ; 1 1f z = f f = f = f = . 2 2 4Với 1; 1; 04z= x=2 y= thì MinS = cos5Cách 2: Phương pháp hình học Xét hệ tọa ðề các vuông góc Oxyz. Tập hợp các ñiểm M x y z

(

, ,

)

thoả mãn ñiều kiện x y z, , ∈

[

0,1

]

nằm trong hình lập phương ABCDA′B′C′O cạnh 1 với A(0, 1, 1); B(1, 1, 1); C(1, 0, 1); D(0, 0, 1); A′(0, 1, 0); B′(1, 1, 0); C′(1, 0, 0). Mặt khác do 3x+y+z=2 nên M x y z

(

, ,

)

nằm trên mặt phẳng (P): 3x+y+z=2Vậy tập hợp các ñiểm M x y z

(

, ,

)

thoả mãn ñiều kiện giả thiết nằm trên thiết diện EIJKLN với các ñiểm E, I, J, K, L, N là trung ñiểm các cạnh hình lập phương. Gọi O′ là hình chiếu của O lên EIJKLN thì O′ là tâm của hình lập phương và cũng là tâm của lục giác ñều EIJKLN. Ta có O′M là hình chiếu của OM lên EIJKLN. Do OM

²

= x

²

+ y

²

+z

²

nên OM lớn nhất ⇔ O′M lớn nhất z ⇔ M trùng với 1 trong 6 ñỉnh E, I, J, K, L, N.