A)ÁP DỤNG BẤT ÑẲNG THỨC CBS TA CÓ

Bài45:Lời Giải: a)Áp dụng bất ñẳng thức CBS ta có:   + + ≥ + +1 ( ) (2 ) 4 .

2

(

²

²

) ^{( )}

²

 + 

∑



∑

a bc2 b c a bc a b cNhư vậy ñể chứng minh bất ñẳng thức ban ñầu thì ta chỉ cần chứng minh cho

( ^{a b c + +} )

⁴

^{≥ 2} ( ∑ ^{( b c + ) (2}

²

^a

²

^{+ bc )} ) ^↔ ∑ ^a

⁴

^{+ 2} ∑ ^{ab a (}

²

^{+ b}

²

^{) 4 +} ∑ ^{a bc}

²

^{≥ 6} ∑ ^{a b}

²

²

^.

Mặt khác theo BĐT Schur bậc bốn thì :

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

4

2

4

2

2

2

a + a bc ≥ a + a bc ≥ ab a + b

4 ( )

Nên ta chỉ cần chứng minh

2 ∑ ab a (

²

+ b

²

) ≥ 6 ∑ a b

²

²

. ^↔ ∑ ^{ab a (}

²

^{+ b}

²

^{) ≥} ∑ ^{a b}

²

²

Và theo bñt AM-GM ta có:ab a(

²

+b

²

)≥ab ab.2 =2a b

^{2 2}

.tương tự rồi cộng lại ta có ñpcm. b) Áp dụng bất ñẳng thức CBS ta có: 1 ( ) (22 5 ) 4 .22 5 b c a bc a b c

( )

⁴

(

²

²

)

⁴

²

²

²

²

²

4 a b c + + ≥ ∑ ( b c + ) (22 a + 5 bc ) ↔ 4 ∑ a + 11 ∑ ab a ( + b ) 4 + ∑ a bc ≥ 30 ∑ a b .

Mặt khác theo BĐT Schur bậc bốn thì :

∑ a

⁴

+ ∑ a bc

²

≥ ∑ ab a (

²

+ b

²

)

^.

(

⁴

²

)

²

²

²

²

²

²

⇒

∑

+

∑

+

∑

+ ≥

∑

+ ≥

∑

^. 4 a a bc 11 ab a( b ) 15 ab a( b ) 30 a bĐúng! Đẳng thức xảy ra tại a= =b c.