MỘT KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN HỮU HẠN CHIỀU LUÔN LÀ KHÔNG GIAN ĐẦU ĐỦ....
3. Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều luôn là không gian đầu đủ. Do đó, một kgvt
con hữu hạn chiều của một kgđc là tập đóng trong không gian đó.
Định lí 1 (Riesz).
Nếu quả cầu
B(θ,
1) :=
{x
∈
X
:
kxk ≤
1}
của các kgđc
X
là tập compact
thì
X
là không gian hữu hạn chiều.
5
Chuỗi trong kgđc
Nhờ có phép toán cộng và lấy giới hạn, trong kgđc ta có thể đưa ra khái niệm chuỗi phần tử
tương tự khái niệm chuỗi số.
Định nghĩa 4.
Cho kgđc
(X,
k.k)
và dãy
{x
n
}
các phần tử của
X. Ta nói chuỗi phần tử
∞
X
x
n
(∗∗)
n=1
hội tụ và có tổng bằng
x
nếu như
x
= lim
n→∞
s
n
, trong đó:
s
1
=
x
1
, s
n
=
x
1
+· · ·+x
n
(n
∈
N
∗
)
•
Nếu chuỗi số
P
∞
n=1
kx
n
k
hội tụ thì ta nói chuỗi (**) hội tụ tuyệt đối.
Mệnh đề 5.
Nếu
X
là không gian Banach thì mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối là chuỗi hội tụ