(1 + Z)M = 1 + MZ + Z2 + … = NN!2=0NVỚI M = 1 1−NNZ(1)+ = 1 - Z + Z...

3. (1 + z)

^m

= 1 + mz + z

²

+ … =

ⁿ

n!2

=

0

n

Với m = 1 1−

n

z()+ = 1 - z + z

²

- … =

∑

^+∞

zThay z bằng z

²

2

+ = 1 - z

²

+ z

⁴

- … =

∑

^+∞

z

2

Suy ra

+∞

z

(

₊

d =

∑

^+∞

∫

ζ

n

d( =

ⁿ

¹

1z ln(1 + z) =

∫

^z

₊^ζ_ζ

∑

=

⁻₊

0

1d =

∑

^+∞

∫

∑

+( =

²

ⁿ

¹

arctanz =

∫

^z

₊^ζ_ζ1

2

Đ4. Không điểm của hàm giải tích

Định lý Cho hàm f giải tích trong miền D và d~y số (z

_n

)

_n

_∈∠

hội tụ trên miền D đến điểm a ∈ D. Nếu ∀ n ∈ ∠, f(z

n

) = 0 thì ∃ R > 0 sao cho ∀ z ∈ B(a, R), f(z) = 0. Ch−ơng 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng D− Chứng minh Khai triển Taylor hàm f trong lân cận điểm a ∀ z ∈ B(a, R), f(z) =

∑

^+∞

c với c

₀

= f(a) =

n

(z a)lim

+

f(z

_n

) = 0

∞

Kí hiệu m(a) = min{n ∈ ∠ : c

_n

≠ 0} ≥ 0 (4.4.1) Nếu m(a) = m thì

k

c = (z - a)

^m

∑

^+∞

f(z) =

∑

^+∞

c = (z - a)

^m

g(z)

m

(z a)

=

+

−

m

với hàm g(z) giải tích trong lân cận điểm a và g(a) = c

_m

≠ 0. Do đó ∃ ε > 0 : ∀ z ∈ B(a, ε), g(z) ≠ 0 ∀ z

_n

∈ B(a, ε), f(z

_n

) = (z

_n

- a)

^m

g(z

_n

) ≠ 0! Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy m(a) = +∞. Tức là ∀ z ∈ B(a, R), f(z) = 0 Hệ quả 1 Cho hàm f giải tích trên miền D. Kí hiệu Z(f) = {z ∈D : f(z) = 0}. Khi đó Z(f) = D hoặc Z(f) có không quá đếm đ−ợc phần tử. Kí hiệu A là các điểm tụ của tập Z(f) ta có A ⊂ Z(f) ⊂ D và tập A là tập đóng Theo định nghĩa ∀ a ∈ A, ∃ d~y z

n

 →

^Z



⁽

^f

⁾

a và f(z

_n

) = 0 Theo định lý trên ∃ ε > 0 : ∀ z ∈ B(a, ε), f(z) = 0 ⇒ B(a, ε) ⊂ A ⇒ tập A là tập mở. Do tập D liên thông và tập A ⊂ D vừa đóng và vừa mở nên Hoặc A = ∅ suy ra Z(f) có không quá đếm đ−ợc phần tử Hoặc A = D suy ra Z(f) = D Nhận xét Theo kết quả trên thì không điểm của hàm giải tích không đồng nhất bằng không luôn là không điểm cô lập. Tức là ∃ R > 0 : ∀ z ∈ B(a, R) - {a}, f(z) ≠ 0 Hệ quả 2 Cho các hàm f, g giải tích trong miền D và d~y số (z

_n

)

_n

_∈∠

hội tụ trên miền D đến điểm a ∈ D. Nếu ∀ n ∈ ∠, f(z

_n

) = g(z

_n

) thì ∀ z ∈ D, f(z) = g(z). Đặt h(z) = f(z) - g(z), theo giả thiết Z(h) có đếm đ−ợc phần tử, suy ra Z(h) = D Tức là ∀ z ∈ D, h(z) = f(z) - g(z) = 0 Hệ quả 3 Cho điểm a là không điểm của hàm f giải tích và không đồng nhất bằng không trong miền D. Khi đó ∃! m ∈ ∠

^*

, ∃ R > 0 : ∀ z ∈ B(a, R), f(z) = (z - a)

^m

g(z) (4.4.2) với g là hàm giải tích trong hình tròn B(a, R) và g(a) ≠ 0. Điểm a gọi là không điểm cấp m của hàm f. c với c

₀

= f(a) = 0 Theo các kết quả trên điểm a là không điểm cô lập nên ∃ R > 0 : ∀ z ∈ B(a, R) - {a}, f(z) ≠ 0 Theo công thức (4.4.1) nếu m(a) = +∞ thì ∀ z ∈ B(a, R), f(z) = 0 trái với giả thiết. Suy ra m(a) = m ∈ ∠

^*

. Tức là c = (z - a)

^m

g(z) với g là hàm giải tích trong hình tròn B(a, R) và g(a) = c

_m

≠ 0

Đ5. Chuỗi Laurent

Định lý Cho miền D = { r < | z - a | < R} và hàm f liên tục trên D , giải tích trong D. Với mọi ρ ∈ (r, R) kí hiệu B = B(a, ρ) ∩ D và Γ = ∂B

⁺

(a, ρ). f∀ z ∈ B, f(z) =

∑

^+∞

−

ⁿ

c với c

_n

=

∫

π d

n

, n ∈ 9 (4.5.1)

1

ia

−

Γ

+

ζCông thức (4.5.1) gọi là khai triển Laurent của hàm f tại điểm a. Với mọi z ∈ B cố định. Theo công thức tích phân Cauchy 1 (1) 1 +

∫

1 =

∫

− ζf(z) =

∫

zd− ππ

2

π

_D

d

Γ

∂

Với mọi ζ ∈ Γ

₁

: | ζ - a | = r, ta có q = | ζ - a | / | z - a | < 1 ζ Γ suy ra khai triển z 1 =  − ⁼

∑

⁺

^∞

0

−1 aΓ

2

Γ

1

ζ f =

∑

⁺

^∞

f (2) và −ζVới mọi ζ ∈ Γ

₂

: | ζ - a | = R, ta có q = | z - a | / | ζ - a | < 1 suy ra khai triển ζ =

∑

⁺

^∞

 1 và f (3) − −

0

ζζ = 1 z

=

Do hàm f liên tục trên D nên có module bị chặn suy ra chuỗi (2) hội tụ đều trên Γ

1

và chuỗi (3) hội tụ đều trên Γ

₂

. Ngoài ra theo định lý Cauchy ζ d

Γ

∫

) d

n

=

∫

Tích phân từng từ công thức (1) suy ra công thức (4.5.1) • Ng−ời ta th−ờng viết chuỗi Laurent d−ới dạng c +

∑

^+∞

∑

^+∞

c (4.5.2) c =

∑

^+∞

n

n

Phần luỹ thừa d−ơng gọi là phần đều, phần luỹ thừa âm gọi là phần chính. Nếu hàm f giải tích trong cả hình tròn B(a, R) thì ∀ n ≥ 1, c

_-n

= 0. Khi đó chuỗi Laurent (4.5.1) trở thành chuỗi Taylor (4.3.1) Ví dụ 1 −