1)..(Z ZM)VỚI HÀM H GIẢI TÍCH TRÊN TOÀN ∀ VÀ MH(∞) = N SUY RA H(Z) = P...

1

)..(z z

m

)

với hàm h giải tích trên toàn ∀ và m

h

(∞) = n suy ra h(z) = P(z)

Đ7. Thặng d−

• Cho hàm f giải tích trong B(a, R) - {a}, liên tục trên Γ = ∂B(a, R). Tích phân 1 (4.7.1) Resf(a) =

∫

i2π

Γ

f(z)dzgọi là thặng d− của hàm f tại điểm a. Theo định lý Cauchy, nếu a là điểm th−ờng của hàm f thì Resf(a) = 0. Nếu a là điểm bất th−ờng cô lập thì Resf(a) không phụ thuộc vào đ−ờng cong Γ đơn, kín, trơn từng khúc, bao điểm a, định h−ớng d−ơng và nằm gọn trong hình tròn B(a, R). Cho hàm f giải tích trong miền R < | z | < ∞, liên tục trên Γ = ∂B(0, R). Tích phân 1 (4.7.2) Resf(∞) =

∫

π f(z)dz

Γ

−

gọi là thặng d− của hàm f tại điểm ∞. Ch−ơng 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng D− Định lý Thăng d− của hàm f tại điểm a là hệ số c

_-1

của khai triển Laurent tại điểm đó. Resf(a) = c

_-1

(4.7.3) Chứng minh Khai triển Laurent hàm f tại điểm a ζc +

∑

^+∞

)(f1

−

−

n

f(z) =

∑

^+∞

c với c

_n

=

∫

π d

n

(z a)

1

n

, n ∈9 za

=

0

n

n

Γ

+

ζSo sánh với công thức (4.7.1) suy ra công thức (4.7.3) Hệ quả Cho điểm a là cực điểm cấp m của hàm f

(

lim d1

m

Resf(a) = [(z a) f(z)]−

⁻

m)!dz

→

(4.7.4)

a

z

−Khai triển Laurent tại cực điểm a cấp m cc

₁

−

+

∑

^+∞

−

+ ... + f(z) =

^m

_m

Suy ra (z - a)

^m

f(z) = c

_-m

+ ... + c

_-1

(z - a)

^m-1

+ c

₀

(z - a)

^m

+ .... [(z - a)

^m

f(z)]

^(m-1)

= (m - 1)!c

_-1

+ m(m-1)..2c

₀

(z - a) + ... Chuyển qua giới hạn hai vế

→

[(z - a)

^m

f(z)]

^(m-1)

= (m - 1)!c

_-1

lim

z

z

eVí dụ Hàm f(z) =

₂

₃

+ có hai cực điểm cấp 3 là ±i ″

2

12lim e1 = 1 e

ⁱ

(3 - 2i) 6Resf(i) = + +− ++ ⁼ 16+

5

4

3

→

3

!

z

(z i)

i

Định lý Cho hàm f có các cực điểm hữu hạn là a

_k

với k = 1...n

∑

=

Re + Resf(∞) = 0 (4.7.5) sf

k

)

k

Gọi Γ

_k

với k = 1...n là các đ−ờng tròn | z - a

_k

| = R

_k

đủ bé để chỉ bao riêng từng điểm a

_k

và Γ là đ−ờng tròn | z | = R đủ lớn để bao hết tất cả các đ−ờng tròn Γ

k

. Theo công thức tích phân Cauchy

∫

Γ

f =

∑ ∫

f = -

∫

= Γ

k

_k

Chuyển vế sau đó chia hai vế cho 2πi suy ra công thức (4.7.5) Hệ quả Cho đ−ờng cong Γ đơn, kín, trơn từng khúc, định h−ớng d−ơng và hàm f liên tục trên Γ, giải tích trong D

Γ

ngoại trừ hữu hạn cực điểm a

_k

∈ D

Γ

với k = 1...n f = 2πi

∑

Re (4.7.6) sinzdzVí dụ Tính I =

∫

2

với Γ là đ−ờng tròn | z | = 2 định h−ớng d−ơng

Γ

(z +1)(z+3)Hàm f(z) có hai cực điểm z = ±i nằm trong miền D

_Γ

và một cực điểm z = -3 nằm ngoài miền D

_Γ

. sin(Resf(-i) = − =

→

(z i)(z 3)i

z

lim-3 -i −

→

(z+i)(z−3) = 3sin(i) I = 2πi[Resf(-i) + Resf(i)] = - 5

Đ8. Thặng d− Loga

• Cho hàm f giải tích và khác không trong B(a, R) - {a}, liên tục trên Γ = ∂B(a, R). Tích phân ′1 (4.8.1) ResLnf(a) =

∫

π dz

Γ

gọi là thặng d− loga của hàm f tại điểm a. Theo định nghĩa trên f′ với z ∈ B(a, R) - {a} ResLnf(a) = Resg(a) trong đó g(z) = [Ln f(z)]’ = Định lý Với các kí hiệu nh− trên