TÌM PHÉP BIẾN HÌNH BIẾN CÁC MIỀN SAU ĐÂY THÀNH NỬA MẶT PHẲNG TRÊN...

13. Tìm phép biến hình biến các miền sau đây thành nửa mặt phẳng trên Imw > 0 a. Imz > 0, | z | < 2 b. Imz > 0, | z | < 2 d. | z | < 2, 0 < argz < π/3 e. | z | > 2, 0 < argz < π/4 f. | z | < 1, | z - i | <1 g. | z | > 1, | z - i | < 1 h. | z | > 2, | z - 3 | > 1 i. 1 < Rez < 2 j. Rez > 0, 0 < Imz < 2 k. | z | < 1, 0 < argz < 2π l. Mỗi trong bốn miền giới hạn bởi các đ−ờng tròn | z | = 1 và | z + 1 | = 1 m. (z) - [-1, 1] n. (z) - (-∞, 1] ∪ [1, +∞) o. (z) - [1 + i, 2 + 2i] p. (z) - { y = x, x ≥ 0 } q. {| z | > 1} - [i, +i∞) r. {| z | < 1} - [1/2, 1] Ch−ơng 3

Tích Phân Phức

Đ1. Tích phân phức

• Cho miền D ⊂ ∀, hàm phức f : D → ∀, z α f(z) = u(x, y) + iv(x, y) và tham số cung trơn từng khúc γ : [α, β] → D, t α γ(t) = x(t) + iy(t) Tích phân γ′

∫

γ

γ(t)] (t)dtf (3.1.1) [dzf =

∫

^β

()z

α

gọi là tích phân của hàm phức f(z) dọc theo tham số cung γ^. Giả sử γ

1

: [α

1

, β

1

] → D, s α γ

1

(s) là tham số cung cùng h−ớng với γ. Tức là có phép đổi tham số bảo toàn h−ớng ϕ : [α, β] α [α

1

, β

1

] với ϕ’(t) > 0 và γ

1

(s) = γoϕ(t) Khi đó ta có

∫

β

1

γs)]f

₁

₁

dsf =

^β

∫

1

Suy ra tích phân của hàm phức không phụ thuộc vào lớp các tham số cung cùng h−ớng. Kí hiệu Γ = γ([α, β]) là đ−ờng cong định h−ớng. Tích phân

∫

f =

∫

f (3.1.2)

γ

Γ

gọi là tích phân của hàm phức f(z) trên đ−ờng cong Γ. Nếu tích phân (3.1.1) tồn tại hữu hạn thì hàm f gọi là khả tích trên đ−ờng cong Γ. Định lý Hàm phức f liên tục trên đ−ờng cong Γ trơn từng khúc thì khả tích. Chứng minh Giả sử f : D → ∀ liên tục và Γ = γ([α, β]) với γ : [α, β ] → D là tham số cung trơn từng khúc. Khi đó hàm foγ(t)γ’(t) liên tục từng khúc nên khả tích trên đoạn [α, β]. • Để tính tích phân phức, thay γ’(t) = x’(t) + iy’(t) và foγ(t) = u[x(t), y(t)] + iv[x(t), y(t)] = u(t) + iv(t) vào công thức (3.1.1) rồi tách phần thực, phần ảo suy ra công thức sau đây. Ch−ơng 3. Tích Phân Phức − ′′(t) v(t)x (t)]dt+ ′′(t) v(t)y(t)]dt

∫

Γ

i (3.1.3) uty[ +

∫

^β

xVí dụ z với Γlà đoạn thẳng [1, 2i] Rezdz