BIỂU DIỄN TRÊN MẶT PHẲNG CÁC TẬP CON CỦA TẬP SỐ PHỨC A. | Z - 3 +...

14. Biểu diễn trên mặt phẳng các tập con của tập số phức a. | z - 3 + 4i | = 2 b. | z - 1 | + | z + 1 | = 3 π < argz < π và | z | > 2 π d. -c. arg(z - i) = 34e. 0 < Imz < 1 và | z | < 2 f. | z - 1 | + | z + 1 | > 3 g. | z | < 2 và Rez > -1 h. | z - i | > 1 và | z | < 2 Ch−ơng 2

Hàm biến phức

Đ1. Hàm biến phức

• Cho miền D ⊂ ∀. ánh xạ f : D → ∀, z α w = f(z) gọi là hàm biến phức xác định trên miền D và kí hiệu là w = f(z) với z ∈ D. Thay z = x + iy vào biểu thức f(z) và thức hiện các phép toán f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) với (x, y) ∈ D ⊂ 3

²

(2.1.1) Hàm u(x, y) gọi là phần thực, hàm v(x, y) gọi là phần ảo, hàm | f(z) | = u

²

+v

²

gọi là module, hàm f (z) = u(x, y) - iv(x, y) gọi là liên hợp phức của hàm phức f(z). 1(z + z ) và y = 1(z - z ), ta có Ng−ợc lại, với x = 2u(x, y) + iv(x, y) = f(z, z ) với z, z ∈ D ⊂ ∀ (2.1.2) Nh− vậy hàm phức một mặt xem nh− là hàm một biến phức, mặt khác đ−ợc xem nh− hàm hai biến thực. Điều này làm cho hàm phức vừa có các tính chất giống và vừa có các tính chất khác với hàm hai biến thực. Sau này tuỳ theo từng tr−ờng hợp cụ thể, chúng ta có thể cho hàm phức ở dạng (2.1.1) hoặc dạng (2.1.2) Ví dụ Xét w = z

²

. Thay z = x + iy suy ra w = (x + iy)

²

= (x

²

- y

²

) + i(2xy) = u + iv • Để biểu diễn hình học hàm phức, ta dùng cặp mặt phẳng (z) = (Oxy) và (w) = (Ouv). z

₀

w

₀

G Dz(t) w(t) (z) (w) Qua ánh xạ f Điểm z

₀

= x

₀

+ iy

₀

biến thành điểm w

₀

= u

₀

+ iv

₀

Đ−ờng cong z(t) = x(t) + iy(t) biến thành đ−ờng cong w(t) = u(t) + iv(t) Miền D biến thành miền G Chính vì vậy mỗi hàm phức xem nh− là một phép biến hình từ mặt phẳng (Oxy) vào mặt phẳng (Ouv). Nếu ánh xạ f là đơn ánh thì hàm w = f(z) gọi là đơn diệp, trái lại gọi là đa diệp. Hàm đa diệp biến một mặt phẳng (z) thành nhiều mặt phẳng (w) trùng lên nhau. Nếu ánh xạ f là đơn trị thì hàm w = f(z) gọi là hàm đơn trị, trái lại gọi là đa trị. Hàm đa Ch−ơng 2. Hàm BiếnPhức trị biến một mặt phẳng (z) thành nhiều tập con rời nhau của mặt phẳng (w). Trong giáo trình này chúng ta chỉ xét các hàm phức đơn trị xác định trên miền đơn diệp của nó. • Trên tập F(D, ∀) các hàm phức xác định trên miền D, định nghĩa các phép toán đại số t−ơng tự nh− trên tập F(I, ∀) các hàm trị phức xác định trên khoảng I. Cho các hàm f : D → ∀, z α ω = f(z) và g : G → ∀, ω α w = g(ω) sao cho f(D) ⊂ G. Hàm h : D → ∀, z α w = g[f(z)] (2.1.3) gọi là hàm hợp của hàm f và hàm g, kí hiệu là h = gof. Cho hàm f : D → ∀, z α w = f(z) và G = f(D). g : G → ∀, w α z = g(w) sao cho f(z) = w (2.1.4) gọi là hàm ng−ợc của hàm f, kí hiệu là g = f

^-1

. Hàm ng−ợc của hàm biến phức có thể là hàm đa trị. Các tính chất phép toán của hàm phức t−ơng tự nh− các tính chất của hàm thực. Ví dụ Hàm w = z

²

là hàm đa diệp trên ∀ và có hàm ng−ợc z = wlà hàm đa trị.

Đ2. Giới hạn và liên tục

• Cho hàm f : D → ∀, a ∈D và L ∈ ∀. Hàm f gọi là dần đến giới hạn L khi z dần đến a và kí hiệu là

→

f(z) = L nếu

a

lim

z

∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ D, | z - a | < δ ⇒ | f(z) - L | < ε Hàm f gọi là dần đến giới hạn L khi z dần ra vô hạn và kí hiệu là

∞

→

z

lim f(z) = L nếu ∀ ε > 0, ∃ N > 0 : ∀ z ∈ D, | z | > N ⇒ | f(z) - L | < ε Hàm f gọi là dần ra vô hạn khi z dần đến a và kí hiệu là

→

f(z) = ∞ nếu ∀ M > 0, ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ D, | z - a | < δ ⇒ | f(z) | > M Định lý Cho f(z) = u(x, y) + iv(x, y), a = α + iβ và L = l + ik ∈ ∀

→

v(x, y) = k (2.2.1)

→

f(z) = L ⇔

α

β

→

u(x, y) = l và

(

lim

x

,

y

)

(

Chứng minh Giả sử

→

f(z) = L ⇔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ D, | z - a | < δ ⇒ | f(z) - L | < ε ⇒ ∀ (x, y) ∈ D, | x - α | < δ/2 và | y - β | < δ/2 Ch−ơng 2. Hàm Biến Phức ⇒ | u(x, y) - l | < ε và | v(x, y) - k | < ε Suy ra

→

v(x, y) = k Ng−ợc lại ⇔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : ∀ (x, y) ∈ D, | x - α | < δ và | y - β | < δ ⇒ | u(x, y) - l | < ε/2 và | v(x, y) - k | < ε/2 ⇒ ∀ z ∈ D, | z - a | < δ ⇒ | f(z) - L | < ε

→

f(z) = L Hệ quả