A A 0 0 • DO ∂D VÀ ∂G ĐỀU LÀ Đ−ỜNG TRÒN NÊN CHÚNG TA CHỌN PHÉP BIẾN...

1/ a a 0 • Do ∂D và ∂G đều là đ−ờng tròn nên chúng ta chọn phép biến hình phân tuyến tính baz++w = cz dDo hàm phân tuyến tính bảo toàn tính đối xứng qua biên và f(a) = 0 suy ra f(1/ a ) = ∞ − = ak zw = z 1/a−− với k ∈ ∀ −1zDo tính t−ơng ứng biên : z ∈ ∂D ⇒ w = f(z) ∈ ∂G suy ra z−− = 1 và do z−− = 1 với | z | = 1 nên | k | = 1 | z | = 1 ⇒ | w | = | k |Kí hiệu k = e

ⁱ

^ϕ

với ϕ ∈ 3 suy ra − (2.11.2) w = e

ⁱ

^ϕ

Để xác định góc ϕ cần biết thêm ảnh của một điểm thứ hai. π _{} thành} Ví dụ 3 Tìm hàm giải tích w = f(z) biến hình bảo giác miền D = { 0 < argz < 3miền G = {| w | < 1} sao cho f(e

ⁱ

⁶

^π

) = 0 và f(0) = i. • Tr−ớc hết biến góc nhọn thành nửa mặt phẳng trên bằng phép luỹ thừa. Sau đó dùng phép biến hình phân tuyến tính (2.11.1) biến nửa mặt phẳng trên thành phần trong của hình tròn đơn vị. Ch−ơng 2. Hàm BiếnPhức i e

^π

i

6

ζ = z

³

ζ , w(0) = - k = i k iw = i+ζ−ζ(0) = 0, ζ(e

ⁱ

⁶

^π

) = i − −iiz

₃

³

Lấy tích các phép biến hình w = Ví dụ 4 Tìm hàm giải tích w = f(z) biến hình bảo giác miền D = { | z | < 1 và Imz > 0 } thành miền G = { Imw > 0 }. • Tr−ớc hết biến nửa hình tròn thành góc vuông bằng cách biến điểm -1 thành ∞ và điểm 1 thành điểm 0 bằng phép biến hình phân tuyến tính. Sau đó quay và biến góc vuông thành nửa mặt phẳng trên. -1 1 z+−ζ = z 1ω = -iζ ω(-1) = i, ω(i) = 1 -1 ζ(0) = -1, ζ(i) = i 0

2

 z  +−Lấy tích các phép biến hình w = ω

²

= 1_} i _{| >}Ví dụ 5 Tìm hàm giải tích w = f(z) biến hình bảo giác miền D = {| z | < 1, | z - 2thành miền G = { -1 < Rew < 1 }. i -1 1 -i i/2 1− , ζ(i) = ∞ 3i) = 4ζ - 3i ζ = z iω = 4(ζ - 4ζ(0) = i, ζ(-i) = i/2 ω(i) = i, ω(i/2) = -i 4− ^{+ 3} Lấy tích các phép biến hình w = iω = Ch−ơng 2. Hàm Biến Phức • Tr−ớc hết biến hai đ−ờng tròn lồng nhau hai đ−ờng thẳng song song bằng cách biến điểm i thành điểm ∞. Sau đó dùng phép tĩnh tiến và phép vi tự để điều chỉnh băng ngang thành băng ngang đối xứng và có độ rộng thích hợp. Cuối cùng dùng phép quay để nhận đ−ợc băng đứng. Ví dụ 6 Tìm hàm giải tích w = f(z) biến hình bảo giác miền D = {| z | < 1} - [1/3, 1] thành miền G = {| w | < 1}. • Tr−ớc hết biến hình tròn với lát cắt [1/3, 1] thành mặt phẳng với lát cắt [-1, 5/3] bằng phép biến hình Jucop. Sau đó thu gọn lát cắt thành đoạn [-1, 1] bằng phép tĩnh tiến và phép vi tự. Cuối cùng dùng phép biến hình Jucop ng−ợc.