CHO BIẾT W0 = F(Z0) VÀ ARG F’(Z0) = Α VỚI Z0 ∈ D0CHỨNG MINH • KÍ HI...

2. - BAI TAP CHO 16 UNIT 12 CO DAP AN 2. - BAI TAP CHO 16 UNIT 12 CO DAP AN 2. - BAI TAP CHO 16 UNIT 12 CO DAP AN
BAI TAP CHO 16 UNIT 12 CO DAP AN
2. Cho biết w

0

= f(z

0

) và arg f’(z

0

) = α với z

0

∈ D

0

Chứng minh • Kí hiệu U = { z ∈ ∀ : | z | < 1}, S = { g ∈ H(D, ∀) : ∀ z ∈ D, | g(z) | < 1} và a ∈ D Ta công nhận ∃ f

a

∈ S sao cho | f

a

(a) | =

∈

| g(a) |

S

Max

g

Khi đó hàm giải tích f

a

là phép biến hình bảo giác biến miền D thành miền U. Có thể tìm đ−ợc vô số hàm giải tích f : D → U nh− vậy. Tuy nhiên ta có liên hệ − , h(a) = 0 azf = f

a

o h với h : U → U, h(z) = e

i

α

−1Từ đó suy ra nếu có thêm các điều kiện bổ sung thì có thể xác định duy nhất hàm f. • Giả sử f : D → U và g : G → U là các phép biến hình bảo giác. Khi đó g

-1

of : D → G là phép biến hình bảo giác biến miền D thành miền G. Nguyên lý bảo toàn miền Cho D là miền đơn liên giới nội, hàm f : D → ∀ liên tục trên D , giải tích trong D và không phải là hàm hằng. Khi đó G = f(D) cũng là miền đơn liên. • Do hàm f liên tục nên bảo toàn đ−ờng cong suy ra bảo toàn tính liên thông • Với mọi b = f(a) ∈ G, do miền D mở và f ≠ const nên có hình tròn B(a, R) ⊂ D sao cho với mọi z ∈ B(a, R), f(z) ≠ b. Kí hiệu à = Min | f(z) - b | với Γ = ∂B

z

∈

Γ

N

B

[f(z) - b] là số không điểm của hàm f(z) - b trong hình tròn B(a, R) Với w ∈ B(b, à) tuỳ ý, ta có f(z) - w = f(z) - b + b - w và | f(z) - b | > à > | b - w| với z ∈ B(a, R) Theo định lý Rouché (Đ8, ch−ơng 4) N

B

[f(z) - w] = N

B

[f(z) - b] = 1 Do đó ∃ z ∈ B(a, R) sao cho w = f(z) ∈ G. Vì điểm w tuỳ ý nên B(b, à) ⊂ G và suy ra tập G là tập mở Nguyên lý t−ơng ứng biên Cho D, G là các miền đơn liên giới nội, hàm f : D → ∀ liên tục trên D , giải tích trong D và biến hình bảo giác ∂D

+

thành ∂G

+

. Khi đó hàm f biến hình bảo giác miền D thành miền G. Ch−ơng 2. Hàm Biến Phức • Với mọi b ∈ G, kí hiệu ∆

Γ

[f(z) - b] là số gia argument của hàm f(z) - b khi z chạy trên đ−ờng cong Γ. Theo nguyên lý argument (Đ8, ch−ơng 4) 1 ∆

∂

D

[f(z) - b] = 1 ∆

∂

G

(w - b) = 1 N

D

[f(z) - b] = π2Do đó ∃ a ∈ D sao cho b = f(a). Lập luận t−ơng tự với b ∉ G 1 ∆

∂

G

(w - b) = 0 Suy ra hàm f biến hình bảo giác miền D thành miền G. Nguyên lý đối xứng Cho các miền đơn liên giới nội D

1

đối xứng với D

2

qua đoạn thẳng hoặc cung tròn L ⊂ ∂D

1

∩ ∂D

2

và hàm f

1

: D

1

→ ∀ liên tục trên D , giải tích trong D

1

1

, biến hình bảo giác miền D

1

thành miền G

1

sao cho cung L

+

thành cung Γ

+

⊂ ∂G

1

. Khi đó có hàm giải tích f : D

1

∪ D

2

→ ∀ biến hình bảo giác miền D

1

∪ D

2

thành miền G

1

∪ G

2

với G

2

là miền đối xứng với G

1

qua cung Γ. • Xét tr−ờng hợp L và Γ là các đoạn thẳng nằm trên trục thực. Khi đó hàm f

2

: D

2

→ ∀, z α f

2

(z) = f

1

(z) và f

2

(z) = f

1

(z), ∀ z ∈ L là hàm giải tích biến hình bảo giác miền D

2

thành miền G

2

. Hàm f xác định nh− sau f : D

1

∪ D

2

→ ∀, f(z) = f

1

(z), z ∈ D

1

∪ L và f(z) = f

2

(z), z ∈ D

2

là hàm giải tích biến hình bảo giác miền D

1

∪ D

2

thành miền G

1

∪ G

2

. • Tr−ờng hợp tổng quát, chúng ta dùng hàm giải tích biến các cung L và Γ thành các đoạn thẳng nằm trên trục thực.

Đ9. Hàm tuyến tính và hàm nghịch đảo

Hàm tuyến tính • Hàm tuyến tính w = az + b (a ≠ 0) (2.9.1) là hàm giải tích, có đạo hàm w’(z) = a ≠ 0 và do đó biến hình bảo giác mặt phẳng (z) lên mặt phẳng (w). • Kí hiệu λ = | a | và α = arg(a). Phân tích w = λe

i

α

z + b (2.9.2) Suy ra phép biến hình tuyến tính là tích của các phép biến hình sau đây. Ch−ơng 2. Hàm BiếnPhức