THEO HỆ QUẢ 3, Đ5 )HZ(∀ Z ∈ B(A, R), F(Z) = M− VỚI H(Z) LÀ HÀM GIẢI...

2. Theo hệ quả 3, Đ5 )hz(∀ z ∈ B(a, R), f(z) =

_m

− với h(z) là hàm giải tích trong B(a, R) và h(a) ≠ 0 aĐạo hàm hàm f suy ra − h(z) +

_m

1mf’(z) =

_m

₁

−

+

− h’(z) − + h′( là hàm giải tích trong B(a, R) g(z) = với −Suy ra ResLnf(a) = c

_-1

(g) = -m Hệ quả 1 Cho đ−ờng cong Γ đơn, kín, trơn từng khúc, định h−ớng d−ơng và hàm f liên tục trên Γ, có các không điểm a

k

cấp n

_k

với k = 1...p và giải tích trong D

_Γ

ngoại trừ các cực điểm b

_j

cấp m

_j

với j = 1...q ′ dz

p

f−

^q

∫

Γ

n = N - M (4.8.2)

k

m

j

2iπ =

∑ ∑

=

1

k

Chứng minh Kết hợp định lý trên, công thức tích phân Cauchy và lập luận t−ơng tự hệ quả 1, Đ7• Ta xem một không điểm cấp n là n không điểm đơn trùng nhau và một cực điểm cấp m là m cực điểm đơn trùng nhau. Theo công thức Newtown - Leibniz và định nghĩa hàm logarit phức f =

∫

d = ∆

_Γ

Lnf(z) = ∆

_Γ

ln| f(z) | + i∆

_Γ

Argf(z) = i∆

_Γ

Argf(z) [ln)]

Γ

Kết hợp với công thức (4.8.2) suy ra hệ quả sau đây. Hệ quả 2 (Nguyên lý Argument) Số gia của argument của hàm f khi z chạy hết một vòng trên đ−ờng cong Γ kín, trơn từng khúc và định h−ớng d−ơng bằng 2π nhân với hiệu số của số không điểm trừ đi số cực điểm của hàm f nằm trong miền D

_Γ

. Tức là ∆

Γ

Argf(z) = 2π(N - M) (4.8.3) Hệ quả 3 (Định lý Rouché) Cho đ−ờng cong Γ đơn, kín, trơn từng khúc, định h−ớng d−ơng và các hàm f , g liên tục trên Γ, giải tích trong D

Γ

. Kí hiệu N

_Γ

(f) là số không điểm của hàm f nằm trong D

_Γ

. Khi đó nếu ∀ z ∈ Γ, | f(z) | > | g(z) | thì N

Γ

(f + g) = N

_Γ

(f). Ch−ơng 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng D− g ) = 0 g < 1 ⇒ ∆

Γ

Arg(1 + Theo giả thiết ∀ z ∈ Γ, 1+g(z)1 ∆

Γ

Arg[f(z) + g(z)] N

Γ

(f + g) = πg )] 1 ∆

Γ

Arg[f(z)(1 + 1 = 2π1 ∆

Γ

Arg(1 + 1 ∆

Γ

Argf(z) + g ) = N

_Γ

(f) Hệ quả 4 (Định lý D’Alembert - Gauss) Mọi đa thức hệ số phức bậc n có đúng n không điểm phức trong đó không điểm bội k tính là k không điểm. Giả sử P(z) = a

₀

+ a

₁

z + ... + z

ⁿ

với a

_k

∈ ∀ Kí hiệu f(z) = z

ⁿ

, g(z) = a

₀

+ ... + a

_n-1

z

^n-1

, M = Max{| a

k

| , k = 0...(n-1)} và R = nM + 1 Trên đ−ờng tròn Γ : | z | = R | g(z) | ≤ M(1 + ... + R

^n-1

) ≤ nMR

^n-1

< R

ⁿ

= | f(z) | Theo hệ quả 3 N

_Γ

(P) = N

_Γ

(f + g) = N

_Γ

(f) = n

Đ9. Các ứng dụng thặng d−

Định lý (Bổ đề Jordan) Cho đ−ờng cong Γ

_R

= {| z | = R, Imz ≥ β} và hàm f giải tích trong nửa mặt phẳng D = {Imz > β} ngoại trừ hữu hạn điểm bất th−ờng. Khi đó ta có