CÁC TÍNH CHẤT KHÁC T−ƠNG TỰ GIỚI HẠN HÀM TRỊ THỰC • TỪ CÁC KẾT QUẢ...

3. Các tính chất khác t−ơng tự giới hạn hàm trị thực • Từ các kết quả trên thấy rằng, các tính chất của hàm trị thực đ−ợc mở rộng tự nhiên thông qua phần thực, phần ảo cho hàm trị phức. Hàm f(t) = u(t) + iv(t) gọi là khả tích (liên tục, có đạo hàm, thuộc lớp C

^k

, ...) nếu các hàm u(t) và v(t) là khả tích (liên tục, có đạo hàm, thuộc lớp C

^k

, ... ) và ta có

∫

v(tdtu + i

∫

)f =

∫

I

f

^(k)

(t) = u

^(k)

(t) + iv

^(k)

(t) , ... (1.6.3) Hàm f(t) gọi là khả tích tuyệt đối nếu hàm module | f(t) | khả tích. Trên tập số phức không định nghĩa quan hệ thứ tự và do vậy các tính chất liên quan đến thứ tự của f(t) đ−ợc chuyển qua cho module | f(t) |. Ví dụ Cho hàm trị phức f(t) = cost + isint có phần thực x(t) = cost phần ảo y(t) = sint là hàm thuộc lớp C

^∞

suy ra hàm f(t) thuộc lớp C

^∞

f’(t) = - sint + icost, f”(t) = - cost - isint, ...

2

/

+

π

∫

sin = 1 + i tdtcos + i

^π

∫

^/

²

(cos =

^π

∫

^/

²

isin

0

• ánh xạ γ : [α, β] → ∀, t α γ(t) Ch−ơng 1. Số Phức gọi là một tham số cung. Tập điểm Γ = γ([α, β]) gọi là quĩ đạo của tham số cung γ hay còn gọi là một đ−ờng cong phẳng. Ph−ơng trình γ(t) = x(t) + iy(t), t ∈ [α, β] gọi là ph−ơng trình tham số của đ−ờng cong phẳng Γ. Tham số cung γ gọi là kín nếu điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Tức là γ(α) = γ(β) Tham số cung γ gọi là đơn nếu ánh xạ γ : (α, β) → ∀ là một đơn ánh. Tham số cung γ gọi là liên tục (trơn từng khúc, thuộc lớp C

^k

, ...) nếu hàm γ (t) là liên tục (có đạo hàm liên tục từng khúc, thuộc lớp C

^k

, ...) trên [α, β]. Sau này chúng ta chỉ xét các tham số cung từ liên tục trở lên. • ánh xạ ϕ : [α, β] → [α

1

, β

1

], t α s = ϕ(t) (1.6.5) có đạo hàm liên tục và khác không gọi là một phép đổi tham số. Nếu với mọi t ∈ (α, β) đạo hàm ϕ’(t) > 0 thì phép đổi tham số gọi là bảo toàn h−ớng, trái lại gọi là đổi h−ớng. Hai tham số cung γ : [α, β] → ∀ và γ

₁

: [α

₁

, β

₁

] → ∀ gọi là t−ơng đ−ơng nếu có phép đổi tham số ϕ : [α, β] → [α

1

, β

1

] sao cho ∀ t ∈ [α, β], γ(t) = γ

₁

oϕ(t) Nếu ϕ bảo toàn h−ớng thì γ và γ

1

gọi là cùng h−ớng, trái lại gọi là ng−ợc h−ớng. Có thể thấy rằng qua hệ cùng h−ớng là một quan hệ t−ơng đ−ơng theo nghĩa tổng quát. Nó phân chia tập các tham số cung có cùng quĩ đạo Γ thành hai lớp t−ơng đ−ơng. Một lớp cùng h−ớng với γ còn lớp kia ng−ợc h−ớng với γ. Đ−ờng cong phẳng Γ = γ([α, β]) cùng với lớp các tham số cung cùng h−ớng gọi là một đ−ờng cong định h−ớng. Cũng cần l−u ý rằng cùng một tập điểm Γ có thể là quĩ đạo của nhiều đ−ờng cong định h−ớng khác nhau. Sau này khi nói đến đ−ờng cong chúng ta hiểu đó là đ−ờng cong định h−ớng. Ví dụ Tham số cung x(t) = Rcost, y(t) = Rsint, t ∈ [0, 2π] là đơn, trơn, kín và có quĩ đạo là đ−ờng tròn tâm tại gốc toạ độ, bán kính R và định h−ớng ng−ợc chiều kim đồng hồ. • Đ−ờng cong Γ gọi là đơn (kín, liên tục, trơn từng khúc, lớp C

^k

, ... ) nếu tham số cung γ là đơn (kín, liên tục, trơn từng khúc, lớp C

^k

, ...). Đ−ờng cong Γ gọi là đo đ−ợc nếu tham số cung γ có đạo hàm khả tích tuyệt đối trên [α, β]. Khi đó kí hiệu + ′′ (t) y (t)dts(Γ) =

∫

^β

x

²

²

(1.6.6)

α

và gọi là độ dài của đ−ờng cong Γ. Có thể chứng minh rằng đ−ờng cong đơn, trơn từng khúc là đo đ−ợc.

Đ7. Tập con của tập số phức

• Cho a ∈ ∀ và ε > 0. Hình tròn B(a, ε) = {z ∈ ∀ : | z - a | < ε } gọi b là ε - lân cận của điểm a. Cho tập D ⊂ ∀, điểm a gọi là điểm trong của tập D nếu ∃ ε > 0 sao cho B(a, ε) ⊂ D. Điểm b gọi là điểm biên Da của tập D nếu ∀ ε > 0, B(b, ε) ∩ D ≠ ∅ và B(b, ε) ∩ (∀ - D) ≠ ∅. Kí hiệu D

₀

là tập hợp các điểm trong, ∂D là tập hợp các điểm biên và D = D ∪ ∂D là bao đóng của tập D. Rõ ràng ta có D

₀

⊂ D ⊂ D (1.7.1) Tập D gọi là tập mở nếu D = D

₀

, tập D gọi là tập đóng nếu D = D . Tập A ⊂ D gọi là mở (đóng) trong tập D nếu tập A ∩ D là tập mở (đóng). Ví dụ Hình tròn mở B(a, ε) = { z ∈ ∀ : | z - a | < ε } là tập mở. Hình tròn đóng B (a, ε) = { z ∈ ∀ : | z - a | ≤ ε } là tập đóng Tập D = { z = x + iy ∈ ∀ : x > 0, y ≥ 0 } là tập không đóng và cũng không mở. Định lý Tập mở, tập đóng có các tính chất sau đây.