(0)X,0) CH−ƠNG 6 LÝ THUYẾT TR−ỜNG Đ1

1,(0)x,0) Ch−ơng 6

Lý thuyết tr−ờng

Đ1. Tr−ờng vô h−ớng

• Miền D ⊂ 3

³

cùng với ánh xạ u : D → 3, (x, y, z) α u(x, y, z) (6.1.1) gọi là một tr−ờng vô h−ớng và kí hiệu là (D, u). Nh− vậy nếu (D, u) là tr−ờng vô h−ớng thì u là một hàm số xác định trên miền D. Sự khác biệt thể hiện ở chỗ khi nói về tr−ờng vô h−ớng ngoài các tính chất của hàm u ng−ời ta còn quan tâm hơn đến cấu trúc của miền xác định D. Tr−ờng vô h−ớng (D, u) gọi là liên tục (có đạo hàm riêng, ...) nếu nh− hàm u là liên tục (có đạo hàm riêng, ... ) trên miền D. Sau này nếu không nói gì thêm chúng ta xem rằng các tr−ờng vô h−ớng là có đạo hàm liên tục từng khúc trở lên. Cho điểm A ∈ D, mặt cong có ph−ơng trình u(x, y, z) = u(A) gọi là mặt mức (đẳng trị) đi qua điểm A. Do tính đơn trị của hàm số, qua mỗi điểm A chỉ có duy nhất một mặt mức. Hay nói cách khác các mặt mức phân chia miền D thành các lớp mặt cong rời nhau. Ví dụ Tr−ờng vô h−ớng u = x

²

+ y

²

+ z

²

gọi là tr−ờng bán kính, các mặt mức là các mặt cầu đồng tâm : x

²

+ y

²

+ z

²

= R

²

• Cho điểm A ∈ D và vectơ đơn vị e ∈ 3

³

. Giới hạn ∂u (A) = u(Atu + e −(6.1.2) ∂e

→

t

t

lim

0

gọi là đạo hàm theo h−ớng vectơ e của tr−ờng vô h−ớng u tại điểm A. Định lý Cho vectơ e = {cosα, cosβ, cosγ}. Khi đó ∂ cosα + ∂ cosβ + ∂u = ∂ cosγ (6.1.3) ∂zyChứng minh Theo giả thiết hàm u có đạo hàm riêng liên tục ∂ tcosγ+ o(te) ∂ tcosα + ∂ tcosβ + u(A + te) - u(A) = Chia hai vế cho t và chuyển qua giới hạn nhận đ−ợc công thức trên. Ch−ơng 6. Lý Thuyết Tr−ờng ∂u = ∂ Hệ quả ∂j∂k∂iVí dụ Tính đạo hàm theo h−ớng vectơ e(1, 1, -1) của tr−ờng vô h−ớng u = x

²

+ y

²

- z

²

tại điểm A(1, 1, -1). Ta có ∂ (A) = -2 và cosα = cosβ = ∂ (A) = ∂ (A) = 2, 1