∀ Σ = RE Z > S, TÍCH PHÂN Σ+∫∞−∞ΣISỐ S0 BÉ NHẤT THOẢ M~N ĐIỀU KI...

3. ∀ σ = Re z > s, tích phân

^σ

⁺

∫

^∞

−

∞

σ

i

Số s

₀

bé nhất thoả m~n điều kiện 1. và 3. gọi là chỉ số của hàm F(z). Kí hiệu A là tập hợp các hàm ảnh. Nếu F(z) là hàm ảnh chỉ số s

₀

ta sẽ viết F ∈ A(s

0

). Định lý Cho F(z) ∈ A(s

₀

). Khi đó hàm trị phức 1∀ t ∈ 3, f(t) =

zt

dz(zeF (5.7.1) )π

^σ

⁺

∫

^∞

i2là hàm gốc chỉ số s

₀

và f(t) ↔ F(z). Chứng minh Theo giả thiết 3. với mỗi σ > s

0

cố định hàm F(σ + iω) khả tích tuyệt đối. Kí hiệu 1

i

t

ω

ωω+π F(σ i )e d∀ t ∈ 3, g

σ

(t) =

^+∞

∫

1

_i

_t

σ

ω

+

ω

∀ σ > s

0

, f(t) = g

_σ

(t)e

^σ

^t

=

^+∞

∫

=

^σ

⁺

∫

^∞

i Fπ

σ

Theo định lý về biến đổi Fourier ng−ợc hàm g

_σ

∈ C

₀

suy ra hàm f ∈ CM. Ngoài ra do giả thiết 1., 2. và công thức tính tích phân suy rộng (4.9.6) 1 =

∑

τ

∀ t = - τ < 0, f(t) =

⁻

^σ

∫

⁺

^∞

z

,a ]

z

dzRe = 0 -zF-[sπ

k

>

a

Re

k

s

0

Ch−ơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace Ước l−ợng tích phân ∀ σ > s

₀

, | f(t) | = | g

_σ

(t) | e

^σ

^t

< Me

^σ

^t

với M = sup{ | g

_σ

(t) |, σ > s

₀

} Từ đó suy ra hàm f(t) là hàm gốc và ta có

−

dt

σ

(t)e

−

dt∀ σ > s

0

, F(z) =

^+∞

∫

zt

dttf

⁽

ⁱ

⁾

^t

=

^+∞

∫

⁻

f g

ⁱ

^t

=

^+∞

∫

Hệ quả 1 Cho hàm F(z) ∈ A(s

₀

) và có các cực điểm a

_k

với k = 1...n

n

F(z) ↔ f(t) =

∑

zt

,a ]Re (5.7.2) f

=

1

Chứng minh Suy ra từ công thức (5.7.1) và công thức tính tích phân suy rộng (4.9.6) A là phân thức hữu tỷ thực sự, có các cực điểm đơn thực Hệ quả 2 Cho hàm F(z) = Ba

_k

với k = 1..n và các cực điểm đơn phức b

_j

= α

j

± β

j

với j = 1..m. Khi đó

m

A + 2

∑ ( )

a

α

β − β

t

M cos t N sin t

t

k

e

k

e

^j

(5.7.3) f(t) =

∑

j

=

′bAtrong đó M

_j

= Re′ với j = 1..m ′ và N

_j

= ImSuy ra từ công thức (5.7.2) và công thức tính thặng d− tại cực điểm đơn.

2

3Ví du Hàm F(z) = − + + có các cực điểm đơn a = 2 và b = -2±2i 84)(A =1_{i ⇒} M = 1, N = 1 Ta có 1,′ −− + = 1 + 1_sin2t) Suy ra f(t) = e

^2t

+ 2e

^-2t

(cos2t - Hệ quả 3 Cho F(z) ∈ A(s

0

) và có khai triển Laurent trên miền | z | > R. Khi đó a ↔ f(t) =

∑

^+∞

a (5.7.4) −

−

n

t

n

F(z) =

∑

^+∞

n)!

=1

n

n

Với Rez > R, chuỗi ở vế trái (5.7.4) hội tụ đều. Tích phân từng từ

zt

t

ⁿ

¹

1 với

^σ

⁺

∫

^∞

[e1 = ,0]z dzf(t) =

∑ ∫

^+∞

= (n 1)!Re

_n

−π

n

1

σ

Đ8. Tính chất của Biến đổi Laplace

• Giả sử các hàm mà chúng ta nói đến là hàm gốc hoặc là hàm ảnh và do đó luôn có ảnh và nghịch ảnh Laplace. Kí hiệu f ↔ F với f(t) là hàm gốc và F(z) là hàm ảnh t−ơng ứng.