TA CÓ F(T) = COSΑT = 221 = 1G(Ω - Α) VỚI G(T) ↔ G(Ω) 1G(Ω + Α) + ΩΠ...

2. Ta có f(t) = cosαt = 21 = 1G(ω - α) với g(t) ↔ G(ω) 1G(ω + α) + ωπ F(σ)G( )dσ−f(t)g(t) ↔

^+∞

∫

−

∞

ảnh của hàm trị thực Kí hiệu f

^*

(t) là liên hợp phức của hàm f(t). Khi đó nếu hàm f khả tích tuyệt đối thì hàm f

^*

cũng khả tích tuyệt đối và ta có

*



⁺

∫

^∞



−

= F

^*

(- ω)

ω

−

dt

+∞

∫

t

)

(

i

dt(ef t)f

^*

ⁱ

^t

= Từ đó suy ra công thức f

^*

(t) ↔ F

^*

(-ω) (5.5.2) • Giả sử ∀ ω ∈ 3, F(ω) = R(ω) + iI(ω) = |F(ω)| e

^Φ

⁽

^ω

⁾

Nếu f(t) là hàm trị thực f

^*

(t) = f(t) ⇒ F

^*

(-ω) = R(-ω) - iI(-ω) ≡ F(ω) = R(ω) + iI(ω) Từ đó suy ra R(-ω) = R(ω), I(-ω) = - I(ω) và |F(-ω)| = |F(ω)|, Φ(-ω) = - Φ(ω) (5.5.3) Nếu f(t) là hàm trị thực và chẵn f

^*

(t) = f(t) và f(-t) = f(t) ⇒ F

^*

(-ω) = F(-ω) = F(ω) là hàm trị thực và chẵn Nếu f(t) là hàm trị thực và lẻ Ch−ơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace f

^*

(t) = f(t) và f(-t) = - f(t) ⇒ F

^*

(-ω) = - F(-ω) = F(ω) là hàm thuần ảo và lẻ Nếu f(t) là hàm trị thực bất kì, phân tích 1[(f(t) + f(-t)] + 1[f(t) - f(-t)] = Ef(t) + Of(t) f(t) = với Ef là hàm chẵn và Of là hàm lẻ. Dùng tính tuyến tính và các kết quả ở trên f(t) ↔ R(ω) + iI(ω) = F(ω) (5.5.4) λ1 } =

₂

2

₂

Ví dụ f(t) = e

^-

^λ

^|t|

= 2E{ e

^-

^λ

^t

η(t) } (λ > 0) ↔ F(ω) = 2Re{ λ i+Gốc của hàm hữu tỷ Ta đ~ có 1 (Rea > 0) ↔ e

^-at

η(t) (5.5.5) +iaSử dụng công thức đạo hàm ảnh và qui nạp suy ra 1t

ⁿ

¹

e

^-at

η(t) (5.5.6) + (Rea > 0) ↔ )

n

)!niXét tr−ờng hợp hàm F(ω) là một phân thức hữu tỷ thực sự. Do hàm F(ω) khả tích tuyệt đối nên nó không có cực điểm thực. Tr−ớc hết chúng ta phân tích F(ω) thành tổng các phân thức đơn và phân thực bội. Sau đó sử dụng các công thức (5.4.1) - (5.4.7’) để đ−a về các tr−ờng hợp trên. Trong các tr−ờng hợp phức tạp hơn có thể phải dùng đến các công thức ảnh của tích hoặc ảnh của tích chập để tìm gốc. Ví dụ Tìm gốc của phân thức ω = A +

2

3B +

₂

C