∃ M > 0, ∃ S > 0 SAO CHO ∀ T > 0, | F(T) | < MEST SỐ S0...
3. ∃ M > 0, ∃ s > 0 sao cho ∀ t > 0, | f(t) | < Me
st
Số s0
bé nhất thoả m~n điều kiện 3. gọi là chỉ số tăng của hàm gốc. Kí hiệu G là tập hợp các hàm gốc và P+
(s0
) = { z ∈ ∀ : Rez > s0
} là nửa mặt phẳng phải. Nếu f(t) là hàm gốc chỉ số tăng s0
ta sẽ viết f ∈ G(s0
). Định lý Cho f ∈ G(s0
). Khi đó hàm biến phứczt
dtF(z) =+∞
∫
−
e)t(f với z ∈ P+
(s0
) (5.6.1)0
giải tích trên nửa mặt phẳng P+
(s0
) và F(z) Re
z
→
+∞
→0 đều theo Argz. Chứng minh Theo giả thiết ta có −ớc l−ợng ∀ σ = Rez > s0
, ∀ t ∈ 3, | f(t)e-zt
| ≤ Me−
(
σ
−
s
0
)
t
σ
→→
+∞
0 Suy ra tích phân (5.6.1) hội tụ đều trên P+
(s0
) và dần đều về không khi σ dần ra +∞. Do hàm mũ g(z) = e-zt
là hàm giải tích nên hàm F(z) giải tích trên P+
(s0
). Ngoài ra đạo hàm qua dấu tích phân chúng ta nhận đ−ợc công thức ∀ z ∈ P+
(s0
), F’(z) = −+∞
∫
−
tf • ánh xạ L : G(s0
) → H(P+
(s0
)), f(t) α F(z) (5.6.2) xác định theo công thức (5.6.1) gọi là phép biến đổi Laplace. Hàm f(t) gọi là hàm gốc, hàm F(z) gọi là hàm ảnh của biến đổi Laplace và kí hiệu là f(t) ↔ F(z). Ví dụ +∞ ≠=