XÁC ĐỊNH TRÊN BIÊN NẾU ∀ N ∈ ∠, UN(Z) LIÊN TỤC TRÊN MIỀN D , GIẢI T...
4. Xác định trên biên Nếu ∀ n ∈ ∠, u
n
(z) liên tục trên miền D , giải tích trong miền D+∞
∂
∑
+∞
∑
= thì u (z)D
S(z)và u (z)D
S(z).n
n
==
0
Chứng minh Theo nguyên lý cực đại ∀ z ∈ D, ∃ a ∈ ∂D : | S(z) -∑
u | ≤ | S(a) -∑
u | < εk
(z)k
(a)k
Đ2. Chuỗi luỹ thừa phức
• Chuỗi hàm phức c −= c0
+ c1
(z - a) + ... + cn
(z - a)n
+ ... (4.2.1)n
(z a)gọi là chuỗi luỹ thừa tâm tại điểm a. Định lý Abel Nếu chuỗi luỹ thừa hội tụ tại điểm z0
≠ a thì nó hội tụ tuyệt đối và đều trong mọi hình tròn B(a, ρ) với ρ < | z0
- a |. Do chuỗi số phức0
n
hội tụ nên→
+∞
n
lim cn
(z0
- a)n
= 0. Suy ra ∃ M > 0 sao cho ∀ n ∈ ∠, | cn
(z0
- a)n
| ≤ M Với mọi z ∈ B(a, ρ) đặt q = | z - a | / | z0
- a | < 1 ta có − ≤ Mqn
za∀ n ∈ ∠, ∀ z ∈ B(a, ρ), | cn
(z - a)n
| = | cn
(z0
- a)n
| −0
aq hội tụ, theo tiêu chuẩn Weierstrass suy ra chuỗi luỹ thừa hội tụn
Do chuỗi số d−ơng∑
+∞
=0
tuyệt đối và đều. Hê quả 1 Nếu chuỗi luỹ thừa phân kỳ tại z1
thì nó phân kỳ trên miền | z - a | > | z1
- a | Giả sử trái lại chuỗi luỹ thừa hội tụ tại z : | z - a | > | z1
- a |. Từ định lý suy ra chuỗi luỹ thừa hội tụ tại z1
. Mâu thuẫn với giả thiết. Hệ quả 2 Tồn tại số R ≥ 0 sao cho chuỗi luỹ thừa hội tụ trong đ−ờng tròn | z - a | = R và Ch−ơng 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng D− phân kỳ ngoài đ−ờng tròn | z - a | = R. Rõ ràng chuỗi luỹ thừa luôn hội tụ tại z = 0 và phân kỳ tại z = ∞. Kí hiệu R1
= Max{ρ ∈ 3+
: chuỗi luỹ thừa hội tụ trong | z - a | < ρ} R2
= Min{ρ ∈ 3+
: chuỗi luỹ thừa phân kỳ ngoài | z - a | < ρ} Ta có R1
= R2
= R • Số R gọi là bán kính hội tụ còn hình tròn B(a, R) gọi là hình tròn hội tụ của chuỗi luỹ thừa. Nếu D là miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa thì ta luôn có B(a, R) ⊂ D ⊂ B (a, R) Hệ quả 3 Bán kính hội tụ đ−ợc tính theo một trong các công thức sau đây c1 (4.2.2) R =n
lim→
+∞
=n
lim→
+∞
n
|cn
|+
1
Lập luận t−ơng tự chuỗi luỹ thừa thực. • Kí hiệu S(z) =∑
+∞
c với z ∈ B(a, R) (4.2.3) Kết hợp các tính chất của hàm luỹ thừa với các tính chất của chuỗi hội tụ đều ta có các hệ quả sau đây. Hệ quả 4 Hàm S(z) liên tục trong hình tròn B(a, R) Suy ra từ tính liên tục của hàm luỹ thừa và chuỗi hội tụ đều. Hệ quả 5 Hàm S(z) khả tích trên đ−ờng cong Γ trơn từng khúc, nằm gọn trong B(a, R)∫
Γ
dzc (4.2.4) )S =∑ ∫
+∞
(n
(z a) dz=
Γ
Suy ra từ tính khả tích của hàm luỹ thừa và công thức tích phân từng từ. Hệ quả 6 Hàm S(z) giải tích trong hình tròn B(a, R) ∀ k ∈ ∠, S(k)
(z) =∑
+∞
−−
+nn (4.2.5) 1)...(kSuy ra từ tính giải tích của hàm luỹ thừa và công thức đạo hàm từng từ. 1 S(k)
(a) (4.2.6) Hệ quả 7 ∀ k ∈ ∠, ck
= !Suy ra từ công thức (4.2.5) với z = a. z hội tụ đều trong hình tròn B(0, 1) đến hàm S(z) =n
Ví dụ Chuỗi luỹ thừa∑
+∞
− . Suy raz
d = - ln(1 - z) 1 =∫
z
−ζζζzn
n
d =∑
+∞
∀ z ∈ B(0, 1),∑ ∫
+∞
0
+0
1)
(
1 +−
∀ k ∈ ∠,∑
+∞
n = − =k
1
−+
, ... Đ3. Chuỗi Taylor
Định lý Cho D = B(a, R), Γ = ∂D+
và hàm f liên tục trên D , giải tích trong D. f∀ z ∈ D, f(z) =∑
+∞
c với cn
=∫
π dn
, n ∈ ∠ (4.3.1) i2Γ
+
ζCông thức (4.3.1) gọi là khai triển Taylor của hàm f tại điểm a. Với mọi z ∈ D cố định. Theo công thức tích phân Cauchy 1 (1) − ζf(z) =∫
Γ
Với ζ ∈ Γ ta có q = | z - a | / | ζ - a | < 1 suy ra khai triển ζ =∑
+
∞
1 và f (2) − −ζ =∑
+
∞
ζ = 1 z=
Do hàm f liên tục nên có module bị chặn trên miền D suy ra ζ ≤ f M qn
∃ M > 0 : ∀ ζ ∈ Γ, RTheo tiêu chuẩn Weierstrass chuỗi (2) hội tụ đều trên Γ, do đó có thể tích phân từng từ dọc theo đ−ờng cong Γ. Tích phân từng từ công thức (1) suy ra công thức (4.3.1) Hệ quả Kết hợp công thức (4.2.6) và (4.3.1) ta có 1 f(k)
(a) (4.3.2) ∀ k ∈ ∠, ck
= Nhận xét Theo định lý Cauchy có thể lấy Γ là đ−ờng cong bất kì đơn, kín, trơn từng khúc bao a và z, định h−ớng d−ơng và nằm gọn trong B(a, R). Thông th−ờng, chúng ta khai triển hàm f(z) trong hình tròn B(0, R) chuỗi nhận đ−ợc gọi là chuỗi Maclorinh t−ơng tự nh− hàm thực. Ví dụ ) z1z + … + zn
z và e-z
=∑
+∞
+ … =∑
+∞