CHO ĐƯỜNG TRÒN (O R; ), ĐƯỜNG KÍNH AB. KẺ TIẾP TUYẾN AX, LẤY Đ...

Câu 4. Cho đường tròn

(

^{O R;}

)

, đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax, lấy điểm C trên tia Ax

(

^ACR

)

^. Từ C kẻ tiếp tuyến CDvới

( )

^O (D là tiếp điểm) . a) Chứng minh bốn điểm A C D O, , , cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh OC//BD . c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BD tại M. Chứng minh OCMB là hình bình hành. d) Gọi K là giao điểm của CD và OM; E là giao điểm của CM và OD; I là giao điểm của AM và OC. Chứng minh E K I, , thẳng hàng Lời giải

x

C

M

E

K

D

N

I

B

A

O

a) Xét (O) có: CA⊥AB (CA là tiếp tuyến), CD⊥OD(CD là tiếp tuyến) Suy ra CAO vuông tại A, CDOvuông tại D Gọi N là trung điểm OC AN =NC=NO=CO CAO vuông tại A có AN là đường trung tuyến nên 2DN =NC=NO=CO CDOvuông tại D có DN là đường trung tuyến nên AN =DN =NC=NO=COSuy ra Vậy A C D O, , , cùng thuộc đường tròn

(

^{N, NA}

)

CÁCH 2: * Xét (O) có: CA⊥AB (CA là tiếp tuyến), CD⊥OD(CD là tiếp tuyến) Suy ra CAO vuông tại A, CDOvuông tại D  A C D O, , , cùng thuộc đường tròn đường kính CO (sự xác định đường tròn b) ADB nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính nên ADBvuông tại D, hay BD⊥AD (1) Ta có CA CD= (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên C thuộc đường trung trực đoạn thẳng AD (2) ^OA=OD

( )

^=R nên O thuộc đường trung trực đoạn thẳng AD (3) Từ (2) và (3) suy ra CO là đường trung trực của AD hay CO⊥AD(4) Từ (1) và (4) suy ra OC//BDc) ^{ACO CAO}

(

^{= 90}

)

^{và OMB MOB}

(

^{= 90}

)

^{có OA=OB}

^{( )}

^{=R ; COA=MBO} (đồng vị và OC//BD) Vậy ACO= OMB(cgv-gnk) Suy ra CO=MB (hai cạnh tương ứng) Tứ giác OCMBcó CO=MBvà OC//MBnên là hình bình hành. d) Ta có CM//OB(do OCMBlà hình bình hành) nên EMD=DBO (hai góc so le trong) mà DBO=BDO=MDEVậy EMD=MDE nên EMD cân tại E. Do đó EM =ED Mặt khác: ^{CM =OD}

(

^=BO

)

Suy ra: EC=EO suy ra ECO cân tại E AOMC là hình chữ nhật CAO=AOM =OMC= 90 I là giao điểm của CO và AM nên I là trung điểm CO. ECO cân tại E có EI là trung tuyến nên đồng thời là đường cao, do đó: EI ⊥CO (5) ECO có K=CDOM mà CD và OM là các đường cao của tam giác nên K là trực tâm của tam giác. Suy ra EK⊥CO (6) Từ (5) và (6) suy ra E K I, , thẳng hàng.